今天聊的话题是《课例研究的力量——改课的视角与实践例谈》，因为只有40分钟，所以先举两个例子。第一个例子是《平行四边形面积》这节课，我们从08年开始研究到前年告一段落，整整坚持了6年，从嘉兴起步，从08年特级教师年会起步，我们怎么研究过来的，我不展开了。我们在研究的过程当中最后得出的结论跟老师们来分享，在这个课例的背后，我们一线老师思考的三个问题：
一、这一类课的目标定位该关注什么？所有的小学数学课，我们梳理一下，就在回答三个问题，是什么？怎么来的，或者是为什么？还有就是怎么运用？而这节课的主要指向在哪里？就是怎么来的，只有把怎么来的弄通了以后，才能用得巧，用得灵活。
二、我让老师一起来思考的是，学生已经有了哪些经验和基础，学生在课堂上真的是探究发现公式吗？他们学习这一部分的内容的困难在哪里？
三、我们总归讲到动手操作，但要追问的是，多种剪拼方法的背后，哪些是适合大部分学生理解和掌握的具有一般意义的方法？需要帮助学生积累哪些活动经验？负责这个过程展开就没有意思了。
经我们大量的实践和了解，我们认为学生的困惑只有两个，第一个是学生认为邻边为什么不能相乘？受长方形的影响，长方形是长乘宽吗？而提出这个问题的孩子，不是所谓的学困生，一定是优秀的孩子。08年的5月份，我、德江老师、朱国荣老师，去听特级教师年会上宋老师的课的时候，就说我们能不能把这个问题做为一个研究的问题，让孩子们自己去证明为什么不能相乘，那有两个抓手，如果你先把题目数据都不给他，长方形正方形这么一道题目，孩子量什么，怎么算，大多数孩子会怎么算？不管是农村的还是城里的，不管是学过的还是没有学过的，基本上会把邻边量出来，既然这样，这是不是他典型的困惑呢？那用什么办法可以让孩子们清晰得像我这样直观判断那是不对的？第一个，最直观的是把平行四边形放到方格纸里面去，如果用面积共识去验证，没有用，这是一个背论的验证，但是我可以直接的数，数出来和算出来怎么会不一致呢？他直观的可以判断。第二个，当时我们到10年研究的时候，孩子很有意思，直接上来黑板上给你画成了一个长方形，他说老师你看，上面这部分就多出来了，所以邻边相乘是不对的，但这个仅仅是个别孩子的一个想法，那怎么来证明他一定是不对的呢？所以等到11年，有顾老师在镇江赛课，我们就把他的课拿出来了，我们看， 这是不是可以有第二个途径可以证明它，我们原来是平行四边形是不稳定的，去说明而不是证明，三角形是稳定的，用易拉动的框架，但那个框架我们只在那时候用了一下，在这里我们可不可以用上？所以顾老师在直观的上面可以拉下来，让孩子看到里面的面积数发生变化，最后我们看看他在课件里面是怎么来梳理的呢？什么叫讲道理的课，罗明亮老师不是一直在强调讲道理吗？实际上我们看看等到最后再来梳理，不能用邻边相乘，什么变了，什么没变？但里面包含的面积数发生了很大的变化，孩子很直观地看到，而这样的一个关联，其实强调了跟中学学习的关系。我们去研究一个图形就是看边和角，跟角是有关系，无非是我们小学阶段用高相当于是这个夹角给他打了折扣了，他90度的时候刚好跟长方形一致，所以当时在镇江，我们就上了这节课和百分数，南京市的朱老师评价我们的课说，我们充分地挖掘了孩子们的潜力，所以有这样的肯定，我们继续往下走。第二个困惑在哪里呢？是前年一个走进名校的活动，袁晓斌老师做的课例，我们一直在研究，我们说平行四边形的公式是通过转化长方形得到的，但是我们有没有想过一件事情，孩子们相不相信所有的平行四边形可以转化成长方形，因为教材里面用的是一个很标准的平行四边形，在袁老师的课堂上就有孩子提出来了，让他在点子图里面，在方格图里面任意画一个平行四边形，看看你数出来的和算出来的有没有不一致，所以要用低乘高来算，孩子说我怀疑是不是平行四边形能转化成长方形呢？你看我画成这样的，他把平行四边形画得很扁，还有个孩子就提了，如果有个平行四边形很扁，那面积是怎么求的呢？这个有的孩子在课堂上一刀一刀地割，割了N刀以后还是可以拼成长方形，如果这两件事情相信了，我们感觉这样的课就够了。至于低乘高这件事情，就相当于一个计算的乘法试题了。为什么孩子公式记住以后，还不断的会有对应低和对应高找不到？因为我们在原理上面，如果用俞正强老师的话来讲，我们在种子课上没有慢，一直在追求即对又快，第一课时我只追求对，不去追求快，甚至这样的两个活动，我们从整个单元来建构的话，可以上两节或者三节，让孩子们都去明白。这是一节课的研究，如果老师们有兴趣可以去看去年的小学数学教育，前年是朱德江老师连载了一年，去年是我带领我们的团队，把10个课例写成了这样的一个研究报告，连载了一年。
第二节课《植树问题》，我们改造的幅度更大。我们从07年赛课开始研究，到去年，或者说前年我们有了一个想法，植树问题在北师大版已经找不到了，我不知道原因是什么，也有可能是课程标准说很多解决都可以融合到计算教学当中去，根扎得深一点，但人教版还放了这样的一个结构，例1例2例3，有两段都种的，有两段都不种的，还有在封闭雪山上植树的，例题基本上是这样编的。老师们请看这个板书，如果你仔细看这个板书，就会发现我们整个思路都在上面了。首先把植树放到了一个大的背景，用除法解决问题，怎么使植树问题找到那个根，老师有没想过用除法解决问题，实际上原来很多都只是习题，当我们去处理余数的时候，就出问题，进一法和去尾法，那我们有没有想过，有时候除出来的商也要进行处理，而当我们去处理商的时候，正好变成了植树问题。我们看看，马珏老师的反思，为了让这样的教学设计有他的朴实性，前年的9月份，我带她到天台县的一个小学，山头上的，整一个学校也只有150个孩子，就用那边的孩子来上课，看看能学起来到什么程度，那边的老师能不能把这节课上好，能不能去模仿，所以那时候我们让马老师把我们整个研究的过程进行了一个梳理。我们把这节课这么去梳理的，整体改进思路，我们把植树问题变成了用除法解决问题，我们走了三个步骤：一、解构：我们思考了什么？二、重构：我们改变了什么，也就是说什么值得我们去改变？三、建构：我们践行了什么？我们重新要践行什么？我们看看我们解构了什么？其实你们看现在人教版的教材是变难了，他把原来的思考题变成了基本问题，而老师就困惑了，原来是竞赛的专项，现在变成了数学广角内容，这是不是人人都要掌握呢？掌握到什么程度呢？就是说原来是小众的教学现在变成了大众的教学，这是一个角度。第二个教师的现状，你去听植树问题，我前年到新疆听课还是在内地，还是我们名师上课，还是普通老师，就走不出经典的教学框架。我陪我们的教授去听课，老师开始讲，绿油油的森林空气很新鲜，讲了一大堆绿化造林的好处，我们的老师问我，苗儿什么问题，我说植树问题，他说那还是数学问题，我说他觉得这样的问题植树就必要了，在结构上面就有几种方式，三种模型一起教，然后重点聚焦到一种模型，但是不管怎么教，教学难度都很大，所以很多老师会因为一节课不够上，课前的时候去做准备，5个手指4个间隔是不是这样，他为了说明什么？段数加一等于棵树，棵树减一等于段数。学生的苦恼是，记忆负担重而且掌握差，因为术语很多，段数棵树好像要用公式做，掌握得不理想，那么我们重构什么呢？重构的时候我们就考虑，能不能找到植树问题的家，所以前年华东六省一市，我们把这节课推出了的时候有一个老师在网上写了很好的点评，老师可以去查，把数学的渊源教给学生，她听明白了，因为紧接着还有俞正强老师的同课异构，他听了两次的课，所以我们认为除法模型是不是植树问题的基本模型呢？比如说我们去匹配用除法解决问题，植树问题倒过来就是，间隔数等于总长度除以间隔距离，我们不说是段数加1，这样除法里面的模型是什么？就是总量里面是几个几，解决问题三种类型，而我们归到用除法解决问题只有一种的特殊的方法，就是要把商进行处理，有时候要加一，有时候要减一，有时候刚刚好，寻求支撑。怎么去调动学生学习基础和生活经验呢？他的学习基础是不是可以回忆用除法解决问题，然后跟植树问题进行比较，明确跟原来的习题相比，商要处理。他的生活经验当中，锯木头、排队伍、植树，还有其他的生活实例，看看是不是能帮助他理解算理，那么锯木头、排队伍、植树当中，哪一个内容容易做成他的例题呢？而哪一个内容只能做成一个习题呢？所以我经常开玩笑，老师在研究一个课的目标的时候，如果你能找到匹配的材料，给他排出适当的序，那你这件节课不会差到哪里去了，所以我们最后给他立足的定位是，第一课时的植树问题更重要的是，让孩子学会识别类型作为教学的重难点，等到他的类型识别完了，这个问题他自然地也就解决了。识别类型当中还是要学会举例，要学会判断，所以上个星期我跟马教授我们在一所学校里面，进行目标研究，听了15节课，普通老师的课，整个教研组，晚上就是聊一个目标。如果老师提到理解，你怎么去说明孩子是理解了，心理学上是有定位的，理解有几个层面，比如有的概念他能举例了，举得比较准确了，说明是理解了，还有就是能判断了，也都是他其中的一种方式，来丰富他的体验。第三是建构，就是刚才给大家看的板书，我们首先调整路径：从教材序到学习序。因为教材他呈现的是一个知识的逻辑结构，但是我们老师备课最困难的是怎么把知识的逻辑结构和孩子学习的情绪结构能够两者协和。你去看，像我们几位名师，罗明亮老师也好，何齐华老师也好，华应龙老师也好，可能在课堂上你们最佩服的地方，就是他能够兼顾到孩子情绪的那条线，所以同样的逻辑结构，在他们的课堂的当中会表现得不一样。强调落实，从理想版到操作版，什么意思呢？理想版指的是谁的啊？就是俞正强老师的。他在福建晋江摇号摇出来同课异构的时候，他摇到了丽丹的植树问题，他就跟我说哎呀糟糕了，最好不要摇到这节课，自己给自己改课就没意思了。因为丽丹已经很不容易了，是07年省里一等奖的，然后前年我让他重新上植树问题，一开始觉得很简单，从前就上过得了一等奖，那节课只能代表你地市的水平，而现在到华东去，必须代表我的想法，让他打通这个结构来上，所以他当时很为难。俞正强怎么上呢， 直接就在黑板上，第一道例题就写了，把20米长的路，每5米分一段，可以分几段，老师们看，这道题目孩子们会做吗？就直接20除以5等于4段对吧，接下来改一下，把20米长的路每5米种一棵树，要准备几颗树苗，这时候孩子就有争议了，所以他的段和点是这么沟通的。后面的联想环节，让孩子们准备模型的时候，孩子举例是举得非常充分的，当时俞正强老师没有听明白一个孩子举的例子。孩子举两端都重的情况，他说厕所的挡板，一块挡板一个蹲坑一块挡板一个蹲坑一块挡板一个蹲坑，他绝对不会指那个植树问题，厕所那个挡板就是两端都重的情况，有没道理啊？如果有一块挡板不在了，那就是厕所就坏掉了，没人敢去上了，但他不断追问孩子说我砍了5颗树苗去种，如果碰到一幢房子怎么办？他没有想到，晋江那边的孩子是拆迁户，拆房子拿了很多钱，就跟俞老师讲把房子拆掉把树种上，就没有说可以省下一棵树苗，所以他换个方向说这个房子不能拆呢？那孩子说那把树苗扛回去，但孩子心里是想，我生活当中看到的我们都是拆迁户啊，所以这样的理想版说实在的我们普通老师驾驭不了，所以我们就研究怎么样来进行一个操作版，一线老师都能做，老师去落实，所以我们就把它延展宽度：从“快节奏”到“慢感悟”，传统的设计“节奏快，容量很大”，希望体验“细而深”，而我们这里希望是慢感悟，针对强，体验“宽而丰”。所以在俞正强老师的课堂上，孩子的想象力丰富到什么样的程度，就能够举出什么，他说美国总统的换届，就是植树问题，每一个总统就相当于那个点，四年一届就相当于段，是不是他已经很理解了啊，所以当我们在马珏老师的课堂再去问，马拉松赛跑送水点的位置属于哪个问题，他说那个属于一端不种，如果运动员一开始跑步就递过去，你自作多情，他嘴巴不干啊，后面是要有间隔的给他设置，他会谢谢你。这样的一个梳理，我们说从一节课去突破一类课，人教版还有数学广角，我们可不可以也用这样的梳理方式，不要让孩子感受到这个问题很典型，找不到落脚点，我们要帮他去落实，最后是研究课的思考方式，所以马老师这么去梳理的，梳理完后这节课的板书才成为经典。那天晚上我们两个人备课备到4点钟，就是听了丽丹的，听了俞正强的，然后去温岭去上，这个内容当时板书不是这么设计的， 我们认为这个板书刚好所有的结构都在上面，所以我们提前就布置了孩子，老师没有到以前，就让数学老师去布置每个孩子关于8除以4编一道题目，编一个问题，那孩子编出来你可以想象，都是把8平均成2份，8里面有几个2，那么选择几个典型的，一个小队有8人，每2人一组，能组成几组，一支笔2元，孟小红带了8元，可以买几支笔。孩子们提供的材料，只是我们提前一天到备课备进去了，然后课堂上面让他们同桌交流，你同桌编的题目对不对，都对的，为什么？尽管有的是买笔的，有的是分组的，都在求8里面有几个2，那这个时候线段图可以画出来，老师也编了两道，分别是怎么样的呢？老师编的是这样的，8米长的一列纵队，每列2米站一个小朋友，共有几人啊？你们帮老师判断一下，老师编对了吗？小朋友告诉老师，你编的是对的，但是用这个8除以2等于4有点问题了，后面还有一步，4加1等于5，老师我不明白，为什么这样，我们可以排队排给你看，因为这个现场就可以拿到理解的抓手，所以一组孩子2米2米间隔过去，慢慢老师就把这一些教具画上了，一个画2米一个画2米，那么他理解了，这里就看到了，所谓的植物问题中的两端都有，商+1。老师又编了第二道题目，跟刚刚拿到题目怎么不一样，再又编了一道，一根木头长8米，每两米锯一段，需要锯几次。孩子发现老师木头没有的话，黑板上建议你画个线段就行了，人有啊，木头没有啊，所以孩子自己贴上来说3、4，编的跟我们又不一样了，你那个商要减去1，来比较，就是编的题目和你们编的题目相比，你觉得有什么不一样的地方，然后在线段图上可以说明了。其实在线段图上可以看到是有4段，而老师编的题目实际上是数端点，有3个或者5个，那这时候再来出现20米长的小路，每隔5米栽一棵树，共栽几棵？你要知道，有的孩子永远在想着种树这件事情，有没有这样的可能，就像俞正强老师班上那个孩子说把房子推掉一样的，你怎么样让他转变为今天就在研究数学这个模型，我们这节课是打通了整个教材结构，所以我经常跟老师讲课例研究的话，一课时的内容怎么去聚焦，那么一个单元的呢，一套教材的呢？我们看看，这个背后我大概研究了30来节课，30节课的背后我有几个立足点在做。
改课的几个视角：不是想改就改，你要有理由。
1.基于教材的精心研读，力求完善教材。人教版的编辑看到了我们的课例，因为我们都写出来了以后，第二轮的修改想做进去。
2.基于对学生学习困难和障碍的研究，就像平行四边形面积和今天带来的植树问题。
3.基于课例本身的普适性的研究，我们力求在点上研究，面上推广。因为我一直认为当教研员，省教研员做了20多年了，我们浙江的老师也很辛苦，一直盼着我什么时候能退休，等着换届，我们就跟他们讲你们就不要有这个想法，我够优秀呢做领导了，不够优秀呢就不做了，刚好不上不下，但是我站在老师的角度，我就觉得我们浙江有3万多数学老师，而且有那么多特级教师，我们都在研究，如果每人承担一节课，我们老师还那么累吗？但是我们很多在做重复研究，所以朱乐平老师带团队在做一课研究很有价值，以后老师直接拿过来用就可以了。
作者：斯苗儿（浙江省小学数学教研员）
