• 贲友林:知识之外,数学还能加点什么“元素”?


    重新认识学生的数学学习

    陶行知指出:“教”的法子要根据“学”的法子。学生是有自己学习数学的方式与特征的,对学生数学学习的重新认识,不仅能促进教学行为的改善,“学”与“教”品质的提升,还能促进教师教学观念的重建。

    一、从“有”到“更有”

    我们所面对的学生,并非是“一无所有”地走进课堂的,他们在生活中就已经有许多数学知识的体验,而学校的数学学习则是他们生活中有关数学经验的总结与升华。学生原有的知识储备,以及在社会生活中所形成的关于数学的朴素认识,都构成了他们进行数学学习的“特定视界”,影响并制约着他们的数学学习。

    数学学习,是学生从“有”走向“更有”的过程。通俗地理解,学习是一种变化,这样的变化,表现为从“有”到“更有”。当然,什么发生变化,发生怎样的变化,这都是有标准的。

    以三年级学生“认识长方形和正方形”的教学为例。在一年级,学生就已经直观认识了长方形、正方形,还有不少学生在幼儿园就已经整体辨识了长方形和正方形。那么,通过三年级的学习,他们“更有”什么呢?学生的“认识”与这节课之前的“认识”有什么发展呢?

    在认识了长方形和正方形的特征之后,我出示了下面的问题:下面的图形中,哪些是长方形?哪些是正方形?

    这样的问题,在一年级,学生就能完成了。三年级再做这样练习的不同之处在于要学生说清楚选择的理由,而这恰恰要应用此时所认识的长方形和正方形的特征作答。

    在解释的过程中,学生会初步感受到:要说它是长方形或正方形,必须看它是否符合长方形和正方形的所有特征,而判断它不是长方形或正方形,只要有一点特征不符合,就可以做出判断。由此,学生可看出“有”和“更有”的不同,从而使学生的学习过程与结果更有意义和价值。


    二、从“感觉”到“认识”

    台湾作家林清玄曾在文章中写道:垦地播种,总是“花未发而草先萌,禾未绿而草先青”。为何?原来是草籽早在耕种前就已经存在。在学生学习新知的过程中,我们关注过他们原来头脑中的“草籽”吗?原有的“草籽”,能否生长成为“禾苗”呢?

    “草籽”,其实也相当于学生学习新知前的“感觉”。学习,是需要感觉的。面对新知,如果学生对此一无所知,很容易在学习过程中产生“防御性的反应”,而如果我们对所学内容有所接触、有所感觉、有所知晓,且在我们的“最近发展区”之内,那接下来的学习将会充满信心和动力。

    以“图形的放大与缩小”的教学为例。

    在日常生活中,学生就已经积淀了有关“放大”和“缩小”的认识。基于此,教师要尊重学生的已知、已有,组织学生在敞亮“感觉”的过程中建构图形“放大”和“缩小”的正确理解。

    我在出示图1之后,分别演示图1“放大”成图2、图3、图4


    我指出:“如果按照我们平时的想法,与图1比,图2、图3、图43幅图都放大了。不过,3幅图中,只有1幅图符合数学意义上的放大。你认为是哪一幅呢?”

    学生凭着自己的感觉,都认为是图4,并且能解释自己的感觉——放大时,长和宽放大的倍数应相等。

    我接着出示图1的尺寸(长3厘米,宽2厘米)和图4的尺寸(长6厘米,宽4厘米)。学生用学过的“倍”的说法表达怎样放大之后,我提出:“能用‘比’表 达吗?也就是说,图1按照几比几放大成图4?”

    学生凭着自己的“感觉”,有的说“按12放大”,有的说“按 1放大”。接下来,我就顺其自然地引导学生阅读、自学教科书了。

    教学片段中同时对比呈现图形的“拉伸”与“放大”,学生潜在的感觉(放大,长和宽都要放大)被明晰、强化。进而,我又以反例,以反衬正、以反激正,促进学生完善认识“放大时,长和宽放大的倍数应相等”。

    在完成对“放大”的定性认识之后,我紧接着组织学生探讨关于放大的定量刻画。当谈及“放大”和“缩小”时,我们一般认为把原图边长扩大2倍,即按12放大,或许还会像学生所说的面积扩大到原来的4倍,做出“14”的回答。而数学上的规定,恰恰是21。我先让学生把“感觉”敞亮出来,继而引发他们看书自学的内在需求,并在交流中去伪存真,实现概念替代。

    学生的感觉,有的对,有的错。但无论对与错,都反映了学生真实的学习起点。数学学习,应在学生原有基础上展开。
     

    三、数学学习,是学生对数学的 “发现”
     

    数学学习的过程,是学生对数学有所“发现”的过程。这里的“发现”,是学生对前人已有定论的数学知识的习得,是对自身未知领域的“发现”。正如弗赖登塔尔所说,学习数学的唯一正确方法是实行再创造,也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来。教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作,而不是把现成的知识灌输给学生。

    以“锐角三角形、直角三角形和钝角三角形”的教学为例。在没有学习锐角三角形、直角三角形和钝角三角形之前,学生根据上述命名即可大致了解这三种图形的含义。教学时,我设计了对学生更具有挑战性的问题:如果将三角形按角进行分类,可以怎样分类?能用图表示吗?

    一位学生是这样想的,如下:

    在该学生展示交流之后,学生就等腰直角三角形展开讨论并形成认识:等腰直角三角形是等腰三角形中一种特殊的情况,特殊在有一个角是直角;等腰直角三角形是直角三角形中一种特殊的情况,特殊在有两条边相等。

    接着,我引导学生思考:等腰直角三角形和直角三角形是不是并列的关系?它们之间的关系和我们之前学习的什么知识类似?在学生回答“垂直与相交”后,我在黑板上画出下图(如图5),并提出问题:垂直与相交,如果用这里的两个圈表示它们之间的关系,大圈表示什么?小圈呢?在学生回答后,我再组织学生思考:还是这两个圈,如何表示等腰三角形与等腰直角三角形的关系?直角三角形与等腰直角三角形呢?由此来看,等腰直角三角形与锐角三角形、钝角三角形、直角三角形之间,是不是并列关系?

    大多数学生回答“不是”,其中一位学生脱口而出:“包含关系。”我又问:“如果三角形按角分类,可以怎样分类,它们之间的关系如何画图呢?”我展示一位学生画的图,如图6(我了解了全班学生画图情况,发现没有学生用集合图的形式表示三角形的按角分类)。

    我提出问题:“如果画圈,应怎样画呢?”一位学生到黑板上画出了图7

    这时,有学生质疑:“在大圈中,三个小圈的外面表示什么呢?”接着,一位学生到黑板上画出了图8

    又有学生质疑:“这样的图,让人感觉直角三角形、钝角三角形都是特殊的锐角三角形。” 最后,一位学生画出了图9

     

    至此,通过充分互动、相互启发,学生发现了如何用集合图来表示三角形的按角分类。在这个过程中,学生也进一步认识与理解了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形以及它们之间的关系。

    从上面的教学片段可以看出,学生的“发现”不是无厘头,也不是空穴来风,而是有所准备的,既包括心理准备,又包括认知准备。准备的过程是学生积蓄想法、酝酿发现的过程。“过程”的价值,不但催生了学生的“发现”,而且学生观察、比较、归纳、概括等能力都得到了发展。

    发现不仅是一种方法,还是一种意识,主动获取自身尚未知晓的知识的意识,更是一种能力,求己所未知的能力。学生数学学习的过程,就是在教师组织、引导下,学生积极发现,自主建构,实现再创造的过程。

     

    延伸
     

     

    为教育而历史——带学生走入数学史的重要意义

     

    基于学生数学学习的需要,有必要将数学史融入数学教学中,这不仅会使教学变得有“意思”,也让教学变得有“意义”,学生们将不仅仅停留在“知道”层面,更能感受数学形成的过程,体会人类认识世界、数学化地刻画世界的过程,即在认识历史的过程中理解数学。

    这是“数学"吗?”
     

    “年、月、日”的教学目标一般为:通过观察年历表认识时间单位年、月、日,知道大月、小月、平年、闰年等方面的知识,记住每个月以及平年、闰年的天数。由上述教学目标可以看出“年、月、日”第一课时要学的内容。无疑,这是“数学”。不过,这是静态的、结论性的数学知识。

    现代的数学观已经从静态主义的观点转向动态主义的观点。数学不应被简单地等同于数学知识的汇集,不应被看作无可怀疑的真理的集合,而应被看作人类的一种创造性劳动。

    以往我在教学“年、月、日”这一内容时,大致按照这样的思路展开:观察年历表,理清每个月的天数;根据每个月的天数对月份进行分类,认识并记住大月和小月;关注二月份天数的不同,认识平年和闰年;研究二月份天数的变化规律,探究平年和闰年的判定方法。这与教材的编写思路是一致的。

    研读教材之后,视线再转向学生:学生需要从年历表中归纳学习“年、月、日”的知识吗?“年、月、日”与学生的生活联系紧密,关于“年、月、日”,学生已经知道了什么?

    通过调查,我发现三年级的学生大部分已经知晓了“年、月、日”的一些知识,如果教师仍然按照原先的思路组织学生观察年历表,那学生也就只能表现为“知道却装作不知道”了。

    进一步思考:如果不这样设计,那么这节课的数学味是什么呢?即如何体现这是一节数学课呢?换个说法,数学课上学习的“年、月、日”与科学课上的“年、月、日”有何不同呢?

    我的教学尝试
     

    既然学生已经知道了“年、月、日”的一些知识,我再“助推”一下,组织学生在课前进一步研究学习“年、月、日”。我设计了下面三个问题:

    1)关于“年、月、日”,我知道了什么?

    2)对“年、月、日”,我有什么疑问?

    3)我收集了哪些有关“年、月、日”的知识或数学故事?

    课堂从交流学生关于“年、月、日”的已知信息入手,学生先同桌间交流,然后全班交流,交流的内容既有本课学习的,也有后续将要学习的,既有正确的,也有不正确的。

    关于“年、月、日”,学生的疑问大致有两类:一类是如“为什么二月的天数最少?”“为什么七月、八月都是大月?”这样知晓结果追问缘由的问题;一类是如“年、月、日是谁发明的?”这样对历史由来的追问。

    如何解答这些问题?显然,得从历史中寻找答案。从这些问题中,我们要看到数学知识,更要看到隐于知识背后的数学思想、精神……

    对于“为什么二月的天数最少?”“为什么七月、八月都是大月?”这样的问题,让学生“百度”一下,古罗马凯撒与奥古斯都的故事都不难找到。那这样的故事是否一“听”就可以了之了呢?我的教学处理是这样的:

    教师邀请学生讲解凯撒、奥古斯都的故事。之后,教师和全班学生共同回顾故事内容并提问:“最初,大月、小 月是如何规定的?”师生完成列式解答。在计算的过程中,学生初步经历了历法的变化与调整过程,对儒略历的认识,对大月、小月的规定不再停留于简单的接受。

    对于“年、月、日是谁发明的”这样的问题,坦率地说,我最初也没有想过。我所知晓的,就是年、月、日与太阳、月亮、地球有关。究竟是谁发明的年、月、日呢?查阅了一番资料之后,我豁然开朗,是古人源于对自然现象的观察。

    如何与三年级的学生交流这些呢?我用课件先后呈现从黑夜到白天的图片、月亮圆缺变化的图片以及一棵树的树叶从无到有、从绿到黄、从有到无变化的图片,并向学生讲述:古时候生活在地球上的人通过长期观察,发现太阳升起落下、日复一日的变化,月亮阴晴圆缺、月复一月的变化,气候四季交替、年复一年的变化,于是逐渐建立起了年、月、日的概念。

    上述教学,试图让学生体会时间是关于过程的度量。时间涉及过程,是事物发生与运动的产物,要建立与时间有关的概念,必须要有参照物。对人类来说,最好的参照物就是太阳、月亮和浩瀚的星空。为了准确地表达时间的概念,就必须清晰地描述地球与参照物之间、参照物与参照物之间的变化关系,而且准确、清晰表达的捷径就是借助数学语言。这便是用数学的语言描述现实中的故事,这是一个完整的构建模型的过程。

    为了让学生进一步体会人类的文明成果,课尾,我留下问题:如果没有年、月、日,这世界将会变成什么样?让学生在想象中体会年、月、日这一来源于生活实践又作用于生活实践的发明的重要意义。

    历法的形成,是一个漫长的、复杂的演变过程,其中的故事、轶事反倒使本来比较枯燥的“年、月、日”知识变得温情脉脉,或者说,变得好玩起来。将这些故事、轶事引人教学,从而“年、月、日”的教学多了份历史的厚重感,学生对各月的天数也多了份“理解”。

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