植树问题
 

教材分析

“植树问题”是人教版五年级上册第七单元数学广角的学习内容。

对于“植树问题”的学习，人教版安排了3个例题，例1是研究植树问题（两端栽树）中棵数与间隔数之间的关系，例2是在例1的基础上继续探讨植树问题的另一种情况（两端都不栽树），例3是在一个封闭曲线上植树的问题。

在例题中，教材创设了生活中的问题情境，学生在解决“两端栽树”的问题过程中，探索一些规律，发现的“棵数”与“间隔数”之间的关系，建立“植树问题”的数学模型，然后用这些规律来解决生活中一些简单实际问题，感受“模型思想”、“一一对应”、“复杂问题简单化”等思想方法，为学生的后继学习做好准备。

学情分析

通过课前调研了解到：自己班里大多数学生对这部分知识有所了解，并能运用“棵数”与“间隔数”之间的关系解决简单的实际问题。但在追问学生“为什么会有这样的关系”时，学生只能停留在直观感知的层面上，很少有学生能借助“一一对应”的思想方法进行解释。

我的思考

学生对于“植树问题”的学习，源于除法的意义，首先要用“全长÷间隔=间隔数”，即：总数÷每份数=份数。然后根据植树问题的不同情况，产生三种不同的解题方法：两端栽树时，棵数=间隔数+1；两端不栽树时，棵数=间隔数-1；一端栽树一端不栽树时，棵数=间隔数。也就是说，“植树问题”的生长点在于探索不同情况下“棵数”与“间隔数”之间的关系。然而，情况不同，“棵数”与“间隔数”之间的关系也不同，但是，在这些不同之中，不变的是什么呢？我想就是棵数与间隔数之间的对应关系——两端栽树时，“棵数”与“间隔数”一一对应后，再加上1棵树；两端都不栽树时，“棵数”与“间隔数”一一对应后，再减去1棵树；一端栽树一端不栽树时，“棵数”与“间隔数”刚好一一对应。如果理解了“一一对应”，自然就能找到不同情况下“棵数”与“间隔数”之间的关系了。因此，我认为，本节课的教学重点就是从“一一对应”的角度理解“棵数”与“间隔数”之间的关系。

正如郑毓信教授所言：“数学思想的教学，最有效的方法是将其渗透于具体数学知识与技能的教学之中，因为这不仅可以使学生更好地体会数学思维的作用和意义，从而真正能够加以推广应用，也可使相关的知识内容可以理解和记忆，从而彻底改变囫囵吞枣、死记硬背的现象。”也就是说，让学生理解“一一对应”的数学思想方法，比掌握三种解题方法更加接近数学本质。因此，在本节课的教学中，应该着重让学生探寻“棵数”与“间隔数”之间的对应关系，从而更好地构建植树问题的数学模型，理解解决植树问题的方法。

那么，通过什么方式来理解“一一对应”？怎样才能更好地理解呢？小学生的思维水平正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。因此，为了让学生更好地理解“一一对应”，我们通常会通过画好的图或者课件演示等方式呈现“一一对应”的情况，有没有更好的方式？可不可以通过动手操作的方式，给学生提供一个实践的机会，真正的栽一栽、摆一摆，从而更好地理解“一一对应”，理解“棵数”与“间隔数”之间的对应关系。

基于以上分析和思考，制定了如下的教学目标：

1. 从一一对应的角度去思考，理解棵数与间隔数之间的关系。

2. 通过动手实践，逐步构建植树问题的模型，并能解决简单的实际问题。

3. 感受数学与生活的联系，提高数学的应用意识。

教学预设

一、认识间隔，导入新课

创设情境引出数学中的“间隔”，理解“间隔”的含义，并引导学生发现生活中的“间隔”。

二、提出问题，学生猜想

出示问题：在全长20米的路上， 每隔5米栽一棵。一共要准备多少棵树苗？教师引导学生独立思考，提出猜想，并引导学生验证自己的猜想，尝试解决问题。

三、自主探索，验证猜想

教师引导学生用自己喜欢的方法验证哪个答案是正确的。学生通过画图、计算等方式寻找问题的答案，验证自己的猜想。全班交流，发现植树的情况不同，棵数也不同。

四、借助算式，理解道理

通过对算式的分析与理解，引导学生发现问题：“4”表示的是什么？（4个间隔）5表示的是什么？（5棵树）为什么棵数会比间隔数多一个呢？引导学生借助学具摆一摆，说一说，从一一对应的角度理解棵数与间隔数之间的关系。

五、联系生活，拓展应用

引导学生联系生活实际，主动发现隐藏在生活中的植树问题，并尝试解决一些简单的实际问题。

作者：张洪叶（北京市西城区黄城根小学）