我想讲四个问题，第一，数学的基本思想是什么；第二，抽象；第三，推理；第四，模型。我先讲第一个问题，数学的基本思想。这个问题是怎么提出来的？我是研究数理统计的，对数学教育根本没有研究过。但大家可能知道，2005年中国义务教育阶段的数学课程标准存在一定的争议，教育部希望我来修改，当时我拒绝了。当时周记部长，特别是当时主管基础数学的部长，几次找我谈话，他说你是学数学的，又是师范大学的校长，所以你有义务来负责这件事情，后来我便接受了。

那时候我想，我们的数学教育到底是什么？义务阶段的数学教育应该教些什么？教这些东西的教育价值是什么？回想以前，课标之前叫做什么？叫教学大纲，咱们国家从解放之后就一直是教学大纲。一直到什么时候呢？到1999年，1999年最后一个《高中数学教学大纲》，也是我组织审定的。我在接受修改课标之后，就想两件事，就是高中数学应该教些什么？应该教到什么程度？因此当时对考试特别是对高考的要求，也是两条：我希望他教的是不是教了？我希望他达到的程度是不是达到了？这就是大纲。

到了大纲下，中国几十年形成的基础教育，不仅是数学，基础教育的基本特点是“双基”。一个叫做基础知识，要求基础知识扎实；一个叫做基本技能，要求基本技能熟练。基础知识主要是指概念的记忆命题的理解。基本技能主要是指证明技能和运算技能。其实“双基”的提出非常好，抓住了事情的本质。但是有些事情有时候可能非得走到极端不可，走到已经不可饶恕的程度不可。结果基础知识完全靠记忆，基本技能完全靠训练。这样我们的数学教育，就变成了记忆和训练。这不是数学，数学是要理解的，没有理解就不是数学了。所以这样的教育是不行的，而在那样的教育下的基本教育形式就是“三中心”：以课堂为中心，以教材为中心，以教师为中心。这是前苏联教育专家凯洛夫提出来的。这样的教育是培养工匠的教育，是大工业时代需要的教育，现在时代变了，现在是以知识经济、以创新、以信息科学为基础的经济形态。过去培养大工业需要的人才模式是不行的。现代的教育理念是以人为本，国家中长期发展规划纲要里把它做“育人为本”，斯巴达称为“立德树人”。无论是“育人为本”也好，“立德树人”也好，大概不能作为教育理念，只能作为工作方针，或者工作目标。“以人为本”是站在学生的立场思考，而“育人为本”和“立德树人”则是站在教育者的立场思考问题，这是有点区别的。

一个人的成功取决三个大要素；知识技能、把握机遇和思维方法。其中思维方法是极为主要的，知识技能可能大家差不多，机遇大家都会得到，但是思想方法很重要。因此我们的数学教育，不仅要让学生记住一些数学知识，掌握一些数学的技能，还要培养学生的基本素养。

那么什么样的课是好课呢？最近几次我参加基础教育获奖的评比，深有感触。有一次评比的组长，给我的印象是教无定法，怎么教都行。有些地方这么规定，一堂课不能超过五分钟、十分钟，或者是先讨论后教课，我认为这不是本质。教无定法，教书根据你教的内容，根据老师的性格，你可以采取不同的教法。但是教书得有一个基本的原则，这个原则是什么呢？一位好的老师讲了一堂课后，他说这堂课对于我们老师来说是一种挑战！让我点评，然后我说，对老师是个挑战，对学生是个灾难！你不要过度关注讲课有多少好，不要过多关注你讲课的技巧，其实这堂课适合给小学四年级的学生讲，他为了挑战，非得给三年级的孩子讲，为什么要进行这个挑战呢？该教什么就教什么！因此教书要更多的关注孩子是如何思考的？关注孩子是如何理解的？

如何关注孩子的思考？我有一个学生叫张丹，是北京教育学院的，现在是北京教科所的。有一次她问我一道题：荷叶上有五个青蛙，跳到水里三个，还剩两个，问荷叶上原来有几个青蛙？老师希望答的是：3+2=5，结果很多学生答5-3=2。老师就判错了。我觉得老师先不要急着说对还是错，而是要关心一下孩子是如何想的，小孩想问题都是非常实际的，荷叶上有几个青蛙，桌子上有几个青蛙， 甚至是锅里有几个青蛙，在大人头脑中都是一回事。可在孩子这却不是一回事，他们脑中是真的浮现那个场景的。荷叶上原来有五只青蛙，跳到水里三只，还剩两只，想得不是挺合逻辑的吗？所以关注孩子如何思考，比关注老师讲课怎么精彩更加重要。

下面我围绕把握数学内容的本质展开。老师的任务是什么？老师的任务是创设一个合理的教学情境，然后在这个情境中让学生掌握知识技能的同时，感悟这个内容的本质，感悟数学的思想，积累思维的经验。因为一个人会不会想问题，就是一个人的思维方法，不是老师教出来的，是他自己悟出来的。这点很重要！有些东西不是老师直接讲授他就能理解获得的。真正本质的东西，是靠学生自己感悟所得到的。

因此，我们现在正在修改高中课程标准。高中数学课程标准，我提出一个终极目标，本来是要删掉的，后来他们说别删，就留下了。通过数学学习，让我们的孩子会用数学的眼睛观察现实世界、用数学的思维分析现实世界、用数学的语言表达现实世界。这就是我们数学教育的终极目标！那么怎么能够实现这个目标呢？我们义务教育阶段课程目标标准很长很多，不一定都记住，但是我希望这三条你们能记住。第一，“四基”。在传统基础知识和基本技能的基础上，加上了基本思想和基本活动经验；在传统的分析问题和解决问题的基础上，加上了发现问题的能力和提出问题的能力。这在高中课标依然存在着。第二，科学精神。敢于质疑、善于思考、实事求是、一丝不苟。这是很必要的。今天主要是想讲基本思想。基本思想在这个原则上提出来的，让我们的孩子在获得了一些基本概念，学会了一些基本技能之外，培养他的思想方法。我推荐两点，一点是基本思想，一点是基本活动经验。数学家们都会认为基本活动经验是非常重要的。刚提出“四基”是在2006年，我把国内的一些很好的数学家，比如蒋铂金先生、李大千先生，请到东北师大交流，他们赞同基本活动经验这一点。基本活动经验大概主要是两种经验。一种是思维的经验，一种是活动的经验。课标有“三维目标”，分别是知识技能、过程性、情感态度价值观。情感态度价值观，我把它变成了科学素养。过程性目标是一件很难把握的事情，你为什么需要过程？过程的目的又是为了什么？过程的目的是帮孩子们学会思考。所以基本活动经验是过程目标的目标。学会思考是经验的积累，不是老师教出来的，是基本活动经验。会思考、会解决、会做事情是经验的积累。接下来我们谈谈基本思想。数学的基本思想是什么？我们得重新理解数学，数学研究的东西是抽象的东西，基于抽象东西的运算来理解现实世界。因此，从数学的内容核心素养到数学思想，然后才到这个。

小学四年级和初中八年级，全国都要做质量检测。监测试验了四年三年，今年开始进行全国的质量检测。我是质量检测的首席专家，由我们来制定题目，制定什么样的题目？要制定四个原则。第一，现在的质量监测把速度取消了，不需要算得那么快。反复训练让小学生计算得非常快，其实是增加课业负担很重要的原因，但这完全没必要。三年前我就提出，培养卖菜的人，算那么快干什么！算对才重要。因此，一定要培养孩子们算对题。除了内容和技能之外，你还要培养什么？现在的质量监测，在内容后面要有概念、推理、计算、想象。这个题目到底是考概念，还是考推理呢？考计算，还是考想象？这个要构造好。因此未来的考题是两维的。一维是知识技能，另一维是概念想象。要考察学生的能力，这是很重要！还有监测的每一道题的后面都会有一个开放问题，这是答案不唯一的题。

考试还有一件很重要的事情：一定是说孩子们能懂的话，并且按正常人的思维来出题。过去他们出题有一个判断原则，就是孩子对题的理解。我觉得这不应该作为一个判断原则，孩子不理解是因为你的考题没写明白，考题必须写得让孩子们明白。另外，出题的逻辑思维必须是正常人的思维，简洁、明了、简单。所以这次监测出题花了很大的功夫，今年六月份这次监测可能马上就开始了。前几天我还在北师大，跟他们一起讨论怎么出题。比如初中的一道几何题，设定是一道开放题。我是这么出的：给一个角，判断这是不是一个直角。我心里预设是勾三股四，两个直角边，一边是3，一边是4，斜边是5，那这就是直角。后来这道题在部分地区出现，老师只想出了三中办法，学生居然想出了十八种办法，而且有几个学生，别的题都没答，就答这道题。下功夫进行监测，就是为国家未来的考试树立一个样板，怎么评价对教学的影响是极大的。因此现在的任务不是更多的创造教学方法，而是创造评价的方法。所以我们现在花很大的精力改革高考，高考又怎么考？核心素养是极为重要的，在小学义务教育阶段，没有想到用什么词表达，因此在课标用了核心词，在课表解读里用了核心概念，现在统一叫做“核心素养”。数学的基本核心素养是什么？在义务教育阶段有八个词，数感、符号意识、空间观念等等。现在高中的课标修改之后，决定是六个词了，数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象和数据分析。那么现在涉及到最本质的东西了。刚才说的不管是核心素养、核心词、还是核心概念，支持它们的是什么？是数学思想。那什么是数学思想呢？这很难回答。当初写出了“四基”之后，他们问我什么是数学思想，我写了《数学思想概论》等六本书来讨论这些问题。什么叫数学思想？数学的产生与发展必须依赖的思想是什么，学过数学的人和没有学过数学的人的思维的差异是什么？总结有三点：抽象、推理和模型。

如果孩子学完了基础教育，但是抽象能力太差，那就是数学没教好，推理能力太差也是数学没教好。什么是抽象呢？就是把现实世界中的数量和数量关系、图形和图形关系抽象到数学内部，然后数学内部的发展是通过推理从假设的前提出发，得到数学的结论。数学应用于数学外部，是通过推理的。因此从现实走向数学，数学的发展，再从数学走向现实。这就是这三个本质。一般人们都认为数学具有一般性，因为抽象的原因；数学具有严谨性，是因为逻辑的原因；数学具有应用的广泛性，是因为模型的原因。

下面具体谈谈抽象。小学数学里面也有抽象？推理吗？还有模型吗？认真思考之后，我发现这里面有，而且很多。小学数学里大概只有三十个本质问题，这三十个问题如果都非常明白了，这课就讲好了。我写了《基本概念与运算法则—小学数学教学中的核心问题》这本书，根据三十个问题的展开，也叫做三十个话题，同时结合二十个教学的案例。数学的思想不是知识，不是靠讲解让学生理解的，而是靠创设情景学生来感悟的东西。比如抽象，我尽可能做到把话说得非常确切。把话说得非常确切，要冒一个很大的风险，因为你可能说得不全，别人很可能能举出反例来。我宁可冒着说得不全或者不很对的风险，也一定要把话说得非常透彻。因为只有把话说得透彻，才容易把握，99%，1%我们就不考虑了。那么这样的话，从抽象得到概念，我认为只有两种办法，虽然书上说了有十多种，但对小学数学而言就两种办法。一种是对应的方法，一种是叙述内涵的方法。在教小学数学时，一开始一定要用对应的方法，然后再用解释内涵的方法。比如数是什么呢？数是对数量的抽象。光抽象成数这不是本质。本质是要超出他们之间的关系。前天朱乐平老师说看了我写的一篇文章，小学数学主要是研究关系，主要研究三种关系：数量关系、图形关系、随机关系。他说对他启发很大。小学数学的核心思想是研究关系，研究什么关系？研究数量的关系、图形的关系和随机的关系。因此抽象数不是最本质的，关键是要抽象出它的关系，那么数的关系在哪抽象出来？在数量中抽象出来。什么叫数量？其实那些带明数的都是数量，三匹马、两头牛、两条裤子、三顶帽子，这叫数量。把后面的名词取消，那叫数，就这么抽象出来的。那么数量的本质是什么？数量的本质是多和少？一开始我们在同类里比比较，两个苹果比三个苹果少。后来可以在不同的量中比较，三个圆圈比四个长条少。数量的本质是多和少。那么抽象成数的话，数的本质是什么呢？数的本质就是大和小，这是本质。

那我们应该怎么抽象呢？有一次，东北师大的一位研究数学教育的老师问我，为什么有的孩子总是分不清三和四？我说你是不是讲三的时候讲三个苹果，讲四的时候讲四个梨呢？他说是。孩子们不懂抽象，他们不知道三和苹果无关，四和梨无关。后来我查我们师大附小怎么给孩子讲数，发现老师把苹果抽象成小方块、圆或长条，这个过程是很有必要的。但是在小学一年级，千万别一会是方块，一会是圆，一会又是长条的，孩子会越来越糊涂的。需要慢慢过渡，过渡时也不要太复杂。抽象的过程，叫做模式，思维的模式。抽象到一个具体的，这个过渡的抽象是很重要。在这个意义上，负数是什么呢？负数也是抽象的结果，是对应的结果。这叫做对应。3是一个符号，我用这个符号来表示这个数量，这是一种对应。去掉任何物理属性，名字和表达是两回事。中文叫做“2”，英文叫做“two”，怎么取名字都行，它的表达思维一样。关于负数，负数都是因为减法得到的是不是？但这样不好，负数也是因为对应得到的。负数最早是在中国古代《九章算术》中方程篇的第八题。负数怎么出来的呢？有个人做买卖，卖了牛买了羊算挣的，买猪交了钱算负的 。挣的钱算正的话，那么花钱就算负的。变成文字表达就是收入怎么样，支出是怎么样，然后用符号表达负数就出现了。因此负数的出现，是对应的原因，为了表达的需要，所以数学一开始完全就是一种表达的需要。负数和自然数有一个共同的地方，数量上的都是从数量抽象出来的，数量是相等的，但意义相反。你挣了钱算正，你交了钱就算负；往东算正，往西就算负；往上算正，往下就算负。因此，绝对值是为了表示数量相等。自然数是一个个增大的，这是皮亚诺公里体系给的。后来皮阿诺发现从1出发，那0就永远出现不了了。出现不了0就出现不了相反数，出现不了相反数，就定义不了负数。十年之后他改了从0出发，这是有必要的。从内涵的角度考虑，数是一个个多起来的。因此我建议，一开始你用对应的方法教数，教到一定程度你就对应不起了对不对？ 一万、一千，一百你还能对应，一千你就很难对应了，一万你就很难对应了，你就对应不了了，那怎么办呢？数就是一个个多起来的。因此，“0”这件事情是极为重要的。这就是抽象，教孩子们学会抽象。

加法这方面的问题挺大，所以我决心编书了。3+1=4，怎么教？有3个小方块再加上1个小方块，4个小方块，所以3+1=4。为什么呢？因为4=3+1，所以3+1=4。换位置，等号不变，意义不变，但还是没讲出道理来。相等是怎么回事？加法应该这么教，这边有3个小方块，这边有4个小方块，问孩子哪边多，4个小方块那边多，3个小方块这边再加一个小方块。那哪边多？一样多，所以3+1等于4。这是加法，利用对应的方法讲的加法。后来我们附小的老师这样改编：猴妹妹和猴哥哥一起去摘桃，猴妹妹摘桃的这个筐里有3个桃，猴哥哥摘桃那个筐里有4个桃，问谁摘得多。那学生说猴哥哥摘得多，那在猴妹妹的筐里再加个桃会怎么样？变一样多，所以3+1=4。等号有两个功能，一个是传递的功能，还有一个表示量相等的功能，这个功能是最重要的。意味着等号两边的两个故事，这两个故事的量相等，这也是练方程的根本。五六年级就要接触方程了，方程必须讲两个故事，等号这边一个故事，等号那边一个故事，两个故事的量相等。这件事情从一开始讲加法便要提出来，让学生们逐渐感悟。乘法涉及到初中了，不细讲，但要知道乘法有两个性质、两个法则。乘法的两个性质：0乘任何数都是0；1乘任何数等于那个数。两个法则：a*b=b*a,交换律;还有加法分配律（a+b）*c=a*c+b*c。我们老师讲课老是讲对的东西，从来不讲为什么这样的判断是不是对的。比如判断交换律对加减乘除都成立吗？交换律对加法成立，对乘法成立，对减法成不成立？对除法成不成立？集合呢？对加法成立，对减法成不成立？对乘法成立，对除法成不成立？让孩子们进行判断这种事情应该让孩子们自己尝试。只有知道不对的地方，才能更好地理解对的地方；只有知道差异，才能更好地分辨共性。

现在谈谈几何，几何这方面我很欣慰。过去讲几何是从点线面到体，这不是人的正常思维。我们看这个世界的所有东西都是三维的，点线面是抽象出来的。现在的教科书都是从体开始讲，从体抽象出面，抽象出线。但是还有一个问题，就是角。角的定义是有公共端点的两条射线所组成的图形。有一个端点生成两条射线？这个定义对不对？也没法说它对，也没法说它不对。所组成的图形那么大，哪块是角？定义不清。我认为应该这么定义：画一个角，我们把这样的图形叫做角。这就是对应，然后再说一些关键的话，角是由两个线段组成的，其中的一个端点重合。角的大小与边长无关，那么和什么有关呢？这就是大事了。你可以在小学四年级中试一试，看看他们能不能明白。你先画一个角，让他们想办法画一个和这个角相同大小的角，怎么画都行。只要孩子画出这个角，就知道角是什么了，知道角的大小由谁决定了。角的大小是由张口决定的。这个张口是由谁决定的呢?孩子慢慢就懂了。你画一条弧，问是不是由这个长度决定的？学生说是。那要是这两个角一块比的话怎么办呢？这条弧长得一样长，因此是单位长度的长度决定。小学四年级的孩子能懂。几何作图是作什么？角平分线怎么画？画一条弧，再画一条弧，一连就是角平分线。那它为什么是角平分线呢？是可以证明，但我问的不是这个。你怎么让理解这么画能画出角平分线，这是需要想象力的，为什么这么画呢？就跟角的大小有关，就涉及到我说的这个问题了。所以，抽象，图形是抽象出来的，如何抽象出来？这是很关键的。

作者：史宁中（东北师范大学数学系教授，博士生导师）