“千课万人”全国小学数学“新常态课堂”研讨观摩会
11月20日互动专刊
向更深处漫溯
——刘延革老师《数与形》一课赏析
一直以来，对刘延革老师的印象是美好的，其人，清爽干练，其课，极具内涵。今天，学习《数与形》一课，依然被她独到深刻的教材理解、别出心裁的教学设计、循循善诱的引导艺术、从容自信的驾驭调控所深深折服。感佩之余，也引发我们思考。
一、仅止于“数形有联系”吗？——目标丰富细化有落点
《数与形》一课是人教版教材新增加的内容，一时成为研究的热点。于是就有了不同的解读与理解，不同的设计与实践。这节课中，要让学生学什么，是老师们首先考虑的问题。让学生探索规律？让学生得出计算结果？显然，不止这些。
1.“数与形”一课所承载的教育价值还有哪些？
无疑，刘老师的课，目标是丰满而立体的，聚焦“数形结合”思想之外，我们看到了“运算能力”、“空间观念”、“极限思想”、“归纳推理”等核心素养的培养，我们看到了“事物是普遍联系的”哲学思想的渗透，我们看到了观察、比较、抽象、推理等思维能力的培养。
以新课环节中“正方形数”的研究为例，教师设计了三个问题：问题1：“你能用数与式表示发现的规律吗？” 问题2:“1+3+5+7+9+11+13对应的是什么样子的图？” 问题3：“1+3+5+7+9+11+13+17+19是怎样的正方形呢？”过程展开中，学生用不同的数与算式表达，建立数与算法、算法与算法之间的联系。学生想象图形：“是边长是7的正方形”、“最里面是1，第二层是3，外面一圈是5，后面依次是7、9、11、13的图形”。学生经历推理，“根据这样的而规律，后面应该是一个边长是10 的正方形”。这一过程中，运算能力、空间观念、推理能力，有机融合，和谐生长。
2.怎样才算真正体会“数形结合”思想？
大多老师的课上，仅止于感受“数”“形”之间的联系，而对于“怎样感受？分哪几个层次感受？感受到什么程度？”则思考不多。事实上，有效的教学必然需要将课时目标有效细化，转化为环节目标层层落实、步步深入。显然，刘老师对这一思想方法的认识是深刻的，将宽泛、笼统的目标加以分解、细化，分为三个层次落实：
第一层次：体会形中有数、数中有形，数形有关系；
第二层次：体会以形助数、以形解数，数形互助；
第三层次：深入体会“数无形时少直观，形无数时难入微”。
至此，“数形有关系”——“以形助数”——“以数助形”——“各有优势”，目标实现了“由粗到细”、“由大到小”的转变，环节细腻、落点明确、层级递进，学生思维与能力的提升轨迹十分清晰。
二、仅止于“教材例题”吗？——多素材多层次促体验深刻
1.教材中的例子够吗？
用怎样的素材让学生体验数形结合，是我们其次需要思考的问题。除了新课展开用了教材例题，我们看到，刘老师又增加了大量素材，既有以前学过的例子，又有新的问题解决。如：“1/2×3/5”、“b=2a-3”、“平行线之间的距离相等”、“89°角”、“超市某品牌饼干全年销售统计情况”、“汽车能不能一次装满沙子”，通过多素材、多层次的分析交流，学生对于“数与形有紧密联系”有了更为强烈、更为充分的感受。不仅如此，不同的素材又指向于不同目的，“1/2×3/5”、“超市某品牌饼干全年销售统计情况”突出体会“以形助数”；“平行线之间的距离相等”、“89°角”、“汽车能不能一次装满沙子”，突出体会“以数助形”。如此巧妙贴切的素材设计，令人耳目一新，拍案叫绝。
2.教材中的例子合适吗？
计算：“1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64…”，这一教材例题主要意图是凸显“形”有助于“算”，是一个“以形助数”的体验材料。但因为有了省略号，难点便落在极限的理解上。刘老师不可谓不智慧，“几何直观”帮助理解“和接近1”，“模式直观”（刘加霞老师定义）解决“和等于1”，可谓匠心独运、用心良苦。
笔者曾多次听“数与形”一课，几乎所有的课堂上，都会出现学生无法顺利完成从“接近1”到“等于1”的认识转变，学生执着地认为：用图来表示，后面一直加下去，尽管空白会很小很小，但始终会有空余，所以只能说“接近1”，而不能说“等于1”。最后，大多以老师告知此为“极限”来作简单处理。今天，刘老师的课堂上同样出现这样的情景：“等于几？”没有声音，师提高嗓音：“等于几？”“等于1（轻轻地）”，师：“声音很软弱，很难，初中高中会学”。事实上，“声音软弱”的背后体现的是“不认同”。张奠宙教授在《小学阶段如何处理“极限”》一文中也阐述了对这一教材的分析与处理。体会”以形助数”用这一例题合适吗？省略号要不要？这是“渗透极限”合适的节点与载体吗？这些，笔者不敢妄作定论，提出来供大家思考。
三、仅止于“只可意会”吗？——重表达重交流促感悟外化
另一个话题，想谈“过程性目标、体验性目标如何外化”的问题。很多老师的认识是，数与形有联系，“只可意会不可言传”，只要让学生体验、感悟就可以了。而今天刘老师的课，为我们提供了极好的示范。
例题教学后，教师大张旗鼓、十分隆重地作了小结：“借助这个算式，体会到数与形之间的关系，用图来帮助我们知道越来越接近1，至于等于1，我们是借助于数来分析的。”接着，引导思考：“数与形有怎样的关系呢？”因为有了前面的讨论交流，学生的回答十分精彩：“这两个是相互依赖的关系”、“相互牵连的关系”、“密不可分的关系”、“互相帮助的关系”。课末总结时，依然将“数形结合”的体会与交流进行到底，“数与形互相帮助的时候，你认为数的优势是什么？形的优势又是什么？”“数可以很精确”、“形可以很直观”，至此“数缺形时少直观”、“形缺数时难入微”也就不是一句简单引用的名言，而是学生深刻理解之后的心声。而这些，一方面得益于好材料的支撑，另一方面得益于对材料透彻分析、交流、体验基础上的感悟表达，所谓“重意会”，亦“重言传”。
（浙江省 潘红娟）
从无到多，有效搭建算术到代数之桥
——听李培芳老师教学《等量关系》有感
从“一个等量关系也不知道，直至学生说出十个甚至更多的等量关系”需要多久的时间？答案是四十分钟。李培芳老师用他精湛的教学，润物细无声地引领学生通过短短的四十分钟逐渐学会用数学眼光看生活，去发现生活中存在的满满的等量关系。从无到多有时就是可以这样在短时间内发生奇妙的变化。
找等量关系是列方程解决问题的核心，是从算术思维过渡到代数思维思考问题的桥梁，可以有效引领孩子们的思维发生质的变化，其重要性不必言说。当然这一内容也是老师们教学中的难点之一。从参会指南上李老师教案中写的“课前慎思”读到他在本节课前作了深入的思考，也提出了一些困惑，想必这些问题与许多的“还是”一定也引起了读者们的共鸣。笔者读着李老师写的两点“课前慎思”：“寻找亦或创造、无招还是有招”颇有感悟，也接着他的话题展开思考，与李老师对话与探讨，也与老师们一起交流。或许要表达的意思与李老师有偏颇，但也无妨于我们对等量关系这节课的思考。
一、寻找亦或创造：创造中寻找，寻找中创造
寻找与创造等式是李老师今天在课中引领孩子们不断去思考与体验的重要学习活动。孩子们在创造中寻找，在寻找中创造，从认识到表示等量关系，从单一的等量关系到丰富的等量关系。对于等量关系，在创造与寻找的过程中不断升华。
1.在创造中寻找：整合的任务设计使得等量关系构建更有价值
课始，教师让学生们根据“鸡的质量是2千克”和“鹅的质量是6千克”这两个信息来求鸭的质量，显然这是一个不可能完成的任务。如何从不可能到可能，教师利用天平不断促使学生思考，不平衡的情况下只能知道范围，而只有平衡才能确定具体的数量。
天平无疑是一个非常直观形象的载体，本节课中教师找到了一个有力的支撑，即“平衡”，等量关系的关键就在于“平衡”，通过找平衡去找到相应的等量关系。“鸡的质量×2=鸭的质量”、“鸭的质量×2=鹅的质量”，从天平图到文字表达式，无疑等量关系的必要性与如何进行数学表达已在学生心中悄然构建。
学生借助于天平创造等量关系的过程既是认识等量关系的过程，也是寻找等量关系的过程。借助于创造的过程来认识与寻找等量关系无疑使得环节目标的功能更为厚重。
2.在寻找中创造：开放的创造活动使得等量关系构建更为灵动
李老师在课前慎思中写道“从促进思维开放与发散角度看，后者因是自由地创造可显见其开放性。”创造是一个具有一定难度的思维活动，他需要有一定的基本活动经验的积累，需要对学习内容有较为深度地认知。当然创造活动本身也是不断丰富学习经验的过程。
我们来赏析一片段：找出老师和燕如之间存在的等量关系。课前学生表达了与数学无关的关系“老师和学生是师生关系”，再无其它。课末时，学生在教师的引导下思考创造出N种等量关系，相信如有时间，学生表达得会更丰富。这一变化，基于对等量关系的理解，基于学生审视等量关系的多角度。创造，让学生的思维更为发散，创造也让学生更为全面深度地去审视等量关系。
创造与寻找，两条不同路径在课中交相呼应，它们的交融更好地为着实现同一个目的而努力，使得本节课知识技能更为落实，也促使学生的思维走向开放、走向深刻。
二、无招还是有招：无招中见招，有招中拆招
怎样找等量关系？从关键字、从常见的数量关系、从常用的数量公式亦或是不变量、线段图。找等量关系的方法有很多，我们如何下手，如何引领？
1.无招中见招：建构基本方法，助力关系构建
如李老师所思：等量关系的种类太多了，有没有寻找等量关系的一般方法。无招还是有招，我们该付诸以怎样的教学行为？回味李老师的课堂给我们作出了较好的答案。
课中李老师引导学生用数学的方式将“一只鹅等于2只鸭”调整为“鸭的质量×2=鹅的质量”，说明数量关系可以用一个式子来表达；从实物图与文字的比较让学生去观察哪种方式更利于找等量关系，感受图更直观，较容易看出关系。课中不断通过比较引领，建构起找等量关系的基本方法：图与式。
也正如刘加霞老师所说：等量关系的表征方式是多元的，可以有动作表征、图形表征、符号表征、语意表征等。学生运用图、式去表征等量关系的过程，也是整合了这些基本表征方式的过程。从中可看到李老师在构建招数上的良苦用心，简洁的基本方式内涵却足够丰富。
当然，笔者认为各招数间不应是割裂的关系，而是融会贯通的。学生列出等量关系的过程是一个言语、书写符号、画图、手势等的统一与协调的过程。课中，教师可能需要创设开放的情境来引领学生用多元的方式去构建等量关系。如解决：找出“百米赛跑，淘气比笑笑快4秒”中的等量关系时，可以让学生自主寻找，关注学生表达自己思维的各种方式，将式、图、语言等多种方式协调起来思考，方式间互相启迪或许就不会让学生感到困难。在解决问题时仅仅关注其中一个成分可能不够合理，笔者认为对于代数思维的研究需要将多个方式作为一个整体来进行实施。
2.有招中拆招：重审等量关系，理解核心内涵
百米赛跑，淘气比笑笑快4秒。根据这句话，你能列出几个等量关系？
笑笑跑步的时间-4=淘气跑步的时间
淘气跑步的时间+4=笑笑跑步的时间
淘气跑步的时间-笑笑跑步的时间=4
淘气跑步的米数=笑笑跑步的米数
短短十二个字，根据不同的句子，或是同一句子从不同的角度思考，居然可以列出四个等量关系。让学生强烈感受到等量关系是丰富的、灵动的，即便是有招了，每一招中依然无招，但唯一不变的找等量，这便是等量关系的核心所在。从有招到无招是学生对等量关系再认识的一个过程。就这样李老师引领孩子们在有与无这一对辩证关系中不断深化着对于等量关系的理解。
等量关系是用一节课来执教的，等量关系的意识也应是学生们入学以来用几年的学习逐渐形成的。一节课的成败对于孩子们学习方程固然重要，但重视代数思维早期的系统渗透，应是学生良好实现跨越的重要方案，需要我们教师在早期尝试着引导学生从寻找关系的角度来解决问题，去关注学生代数思维发展的重要节点，实现两者的顺利衔接。
写到这里，依然如李培芳老师课前慎思中的“还是，还是……”，对于等量关系，我们仍有很多的困惑之处。那么也让我们接着省略号继续慎思，并积极实践与改进，以更好地构建学生学习生涯中从算术思维到代数思维的那座核心大桥。
（浙江省 孙钰红）
在理解和对话中分享运算的意义
——黄爱华老师《数的加减法》教学赏析
华哥又来了！
作为1995年全国优质课大赛一等奖的获得者，20年过去了，华哥老了吗？
“不老！……”（全场呼应）
华哥为什么不老？
因为华哥一直在研究小学数学课堂，一直在思考如何像大哥哥一样与孩子们一起聊数学，玩数学，研究数学，这样的人是不容易老的！
鼓掌！……
不一样的开场，在欣赏全国著名特级教师黄爱华与全场教师、孩子们互动对话的同时，也将我们带入到了华哥的课堂，让我们感受到了华哥的魅力，领略到了知识的力量，愿与大家分享我的听课收获。
“数的加减法”一课，黄爱华老师紧扣学生的认识基础，直面学生学习的难点，关注整数、小数以及分数运算之间的联系，从不同角度、层层深入挖掘知识的内涵，引导学生构建完整的认知结构。黄老师的教学让我们充分体验了：什么是以研究“大问题”为目标方向的数学课堂？怎样提供“大空间”让学生自然生成？如何呈现数学教育的“大格局”？
赏析一：道理上是不是一回事？——研究“大问题”聚焦核心知识
课始，华哥用轻松的口吻抛出了一个话题：今天我们一起来聊聊数的加减法，我们只研究一个问题，最近研究的分数的加减法与以前研究的整数、小数加减法在算的道理上是不是一回事？
这一问题虽然有一定的难度，但它在学生的最近发展区，能引发学生思考，并不断提出新的问题。这一问题的解决需要从知识的整体上梳理与打通，它不仅仅需要学生的数学的知识与技能，更需要积累基本的的活动经验和思想方法，因为它触及到了数学的本质——加减运算的意义就是单位相同的整数运算。所以，这是个“大问题”。
我们知道研究整数加减法的时候强调——数位对齐（为什么？十进制计数法和位值原则）举例：325+274，个位上是5个1加4个1，实质上是在算9个1，十位上2个十加7个十就是9个十，百位上……在进行加减计算的时候，实质上都是在算个数，数位对齐就是为了实现相同计数单位的相加减。
那么，分数加减法呢？它算的道理上是不是一回事？在以往教学中，教师较多地从计算技术的层面来考虑“分数运算”的教学。这样只关注分数运算的个性，而不从整体考虑，就会将分数的运算与整数运算割裂开来，使简单问题复杂化，增加学生的学习负担。黄老师引导学生研究的“大问题”，打通了加减法运算教学的通理和通法，聚焦核心知识。
赏析二：能和大家一起来聊聊吗？——提供“大空间”促进自然生成
分数加减法是运算中的难点内容，也是学生由直观思维走向抽象思维的重要内容。之前学习的整数、小数加减法可以依靠直观模型理解相同计数单位相加减的算理，而在分加减法中，尤其是异分母分数加减法，直观的计数单位隐去了,只留下了相对抽象的计数单位。基于此，我们十分有必要深刻理解分数加减法运算的算理本质，沟通运算的通理通法。
随着“大问题”研究的深入，学生已经聚焦了知识的核心。在黄老师的引导下，试图通过自己举例研究，担当“小老师”，大胆地与同学聊聊“分数加减法是否也是这回事？。
女生分享：我是这么认为的，2/7+3/7=5/7，它们的计数单位是1/7，就是2个1/7加上3个1/7等于5个1/7。特别强调的是它们的计数单位是相同的。
学生提问：1/29+1/30是怎么回事？它们的计数单位又不一样？
女生分享：计数单位不同所以要通分呀？比如1/2+1/3，因为它们的计数单位不同，所以通分成3/6+2/6=5/6，计数单位是1/6，3个1/6加上2个1/6等于5个1/6。
学生提问：分数能数位对齐吗？这样不是与整数相加减一样了吗？
女生分享：对啊！我觉得分数的加减法与整数加减法都是计数单位相同的计算，所以是一回事呀！
学生提问：带分数也一样吗？
女生分享：我觉得是一回事。只要把带分数转化成假分数，计算方法就一样。
学生评价：哦我知道了，你的回答有很多亮点！
……
智慧的对话源自深刻的思考！精彩的生成源自开放的课堂！黄老师就是这么大气，主动“退”出讲台，让学生在辩论中明晰知识，建构模型，获得智慧。
赏析三：分数与整数的计数单位是一回事吗？——呈现“大格局”完善认知结构
在整个教学过程中，黄老师不断地创造学生“最近发展区”，凸显分数加减法运算的本质属性——分数单位统一下的整数运算，归纳出了：
问题又来了：分数的计数单位真得与整数、小数是同一回事吗？一问激起千层浪，将学生的思维引向深处。逐步感知到整数与小数加减法的计数单位特点是固定的、明确的；而分数的计数单位特点是不太统一！最后，通过数学大师的话，让学生感悟到分数单位的数量是无限的，感知等价分数各自的作用，引领学生靠近数学知识的殿堂，呈现大格局完善认知结构。
华哥是深度对话的重要引领者，他能直面课堂上的现场生成，有意识地暴露学生的真实想法，学会倾听、智慧回应、深度对话、让学习发生，让生命成长！
（浙江省 邵 虹）
把“根”留住
——赏倪芳老师《11—20各数的认识》有感
“多少课堂，茫然随波逐流，不知在追寻什么”，听了倪老师的课，应是“万涓成水，终究汇流成河，像一首澎湃的歌。”一节真正体现大会主题“新常态”的好课，教者不因循守旧，尊重教材，又突破既有教材的束缚，从儿童的需要出发推陈出新，令人意犹未尽。
一、教学无痕，落花并非无情，留住教材的根。
我们知道，“11-20”是学生数的认识的一种飞跃，理解新的计数单位“十”，体会“满十进一”的十进制计数法是教学的重点与关键。许多老师一开始往往就希望学生能做到“如何让人一眼就看出你摆的小棒是12根？”我们来看看倪老师是怎么做的：
师：数数自己手上有几根小棒。
生：12根
师：刚才你要是不说呀，倪老师还真没看出12根呢！你们能想一个办法，整理一下，让倪老师很快就能看出来？
学生摆，汇报四种摆法如下（贴在小白板上）：
师：谁看懂了他的意思？
生1：我就想把它空一下，1根1根地空。
生2：2根2根地空。
生3：左边有6根，右边有6根，合起来12根。
生4：左边10根，右边2根，合起来是12根。
师：刚才我们想了很多办法，不管怎么摆，都是12根。你最欣赏谁的摆法，谁的能让我们很快就看出12呀？
学生有各种意见。
师：大家想法不一样，不过很多同学选了4号。我们来验证一下，左边确实是10根吗？学生数。
师：为了方便，其实10根小棒也可以捆成一捆。今天开始，我们有一个新的约定，凡是有10根小棒就把它捆起来。一捆就代表——10根。
师：请你们也把自己的10根小棒捆起来。 捆好的同学互相看看，能不能一下子看出12？
师：刚才说这个方法很快，我们能否验证一下。
教师出示14（图）逐一增加到18，学生很快就能回答出来。
师：现在你看2根2根的摆好，还是用今天的新约定好？
老师也整理了一些，看看你能不能很快看出来？
出示13。17.
师：没数你怎么知道就是17根呢？
生：根据我们刚才的新约定，捆起来的就是10根，右边7根，合起来是17根。
……
“十”其本身就是约定俗成，其合理性是学生需要体会的。教师先充分地暴露了学生的思维过程，虽然流水无情，然后教师却落花有意，该出手时就出手，“新约定”是需要你“教”的，无需犹抱琵琶半遮脸！然后经过孩子们的观察、讨论、交流，再回头看数数的过程，学习“10个一”就是“1个十”，需要把它“捆起来”，“新约定”就是那么无痕地得到认可！
二、诗意课堂，绽放生命气息，留住情感的根
倪老师课堂立足于“玩”的基点，顺应了儿童好玩的天性，冲破了正儿八经讲知识、练解题的课堂藩篱，成就了数学课堂不拘一格的儿童情趣化特有样式，使得数学教学别开生面，为儿童喜闻乐见，令师生耳目一新。
我们来欣赏倪老师是怎样让孩子建立数位概念，感受数值的。
师（边叙述边出示课件）：我们的故事还在继续呢，记得吗？聪明的古人用一块大石头和1块小石头表示出（11），我们用1捆小棒和1根小棒也能表示出11，两颗颜色一样、大小也一样的小珠子，他们还能表示11吗？
教师让认为“不能”与“能”的学生代表上台辩论。
“不能”一方先发言：
师：既然不能表示11 那能表示几呢？
生：只能看出2。
生（能方）：我是1个十一个1组成了11
师：听懂了吗？你再说说。
生（不能方）：不行，那是珠子，不是鸡蛋。
师：想不想听听倪老师的想法？
教师自然地出示计数器。
师：她叫什么？第一位叫——（个位），第二位叫（十位），老师把它画在黑板上。如果把小珠子放在个位上，它就表示——1个一。如果把一个小珠子放在十位上，它就表示——1个十。
师：我是1，你也是1，咱们都是一样吗？
生：左边1个一是十位，右边是个位。
师：按照你的意思就是，我往十位上一站，就表示——（1个十），我往个位上一站，就表示——（1个1）。
然后学生在计数器上拨数，并教学20。
……
“不愤不启，不悱不发”，学习怎样才能真正地发生呢？倪老师已经给了我们很好的典范。
除了计数器的出现，数位、位值的学习学生学得生动活泼，水到渠成外，课堂中“给数找家”的游戏也同样充满诗意地将大小比较，数的顺序及估计意识、数感的培养水乳交融，丰盈着孩子们的数学思维，孩子们享受着数学带给他们的无穷乐趣。
三、历史文化，恰似信守捡来，留住创新的根
课前：
课一开始就从绘本小故事《古人计数》入手（以下为简述，课件演示）：
很久很久以前，两兄弟经常去打猎。第一天，老大打到了6只羊（用6块小石头计数），老二也打了5只羊（5根小树枝计数。）第二天，老大打了13只山鸡（13块石头计数），老二说比老大打得多，却只用了5块石头（1大4小）。老大看一愣一愣地，你们看懂了吗？老二继续说，今天我一共打了14只小山鸡呢！
师：老二怎么会想到这个办法呢？
课中：例见本文第二部分。
课尾：今天我们学习了11-20这些数，还记得吗？我们是从古人计数的故事开始的。可是这个故事还没有讲完呢……如果让你继续讲下去，你会用怎样的图画来表达你对数的认识呢？（拓展到百、千、万……）
渗透数学文化，使学生体会数的发展和数的意义，引导学生创造计数单位的方法，感悟数学的作用和学习数学的乐趣，丰富学生对数感的认知。真是前有孕伏，中有突破，后有发展呀！“以史为镜，可以知兴替”，培养学生的创新意识也是那样的无痕！
多少改革，凝聚成这一刻，期待着常态课堂。一年过了一年，一生只为这一天，让课程再相连，剔除无谓的教和傻练，留住我们的根……
（浙江省 李加汉）
在动态生成中感悟数学本质
——吴正宪老师“用字母表示数”一课赏析
听吴正宪老师的课，最大的感受就是她那浓浓的师生情感味，我想这是源自她那骨子里的教学理念：聚焦儿童、以生为本、学为中心。在今天的课堂上，我们到处能看到学生唱主角的场面：学生问、学生答，学生写、学生评，学生争、学生辩，思路从学生中诞生，问题从学生中产生，素材从学生中捕捉，在师生、生生的激情互动中推动着教学进程，在张弛有致的节奏变化中动态生成，进而培养了学生的符号意识，使学生切身感悟到了所学内容的数学本质。让我们一起来赏析一下这节课。
先说说数学本质，从数学本质的视角去审视数学课堂，对低效课堂中的各种因素进行归因和寻根，你会发现，最终的源头就在于对“数学本质”的认识上。因为一个教师对所教数学内容本质的认识决定了他后续教学行为的安排与走向，如课的立意、学习材料的选取、教学环节的安排、教学手段的运用等等。并且，对数学本质理解的深度会对突破一节课的难点产生重要影响。 “用字母表示数”这节课，很多老师都上过，而且还经常上公开课。但很多老师在一遍遍的唱“一只青蛙一张嘴……”儿歌，但到底要让学生学到什么“数学本质”，心中迷惘，在这种“只知其然而不知其所以然”的状态下完成了一遍又一遍的教学任务，但每次教学之后心里总是不踏实，总觉得还有什么东西没有搞清弄透（表面效果还不错——比较顺利，但隐性效果不理想——数学本质未突出）。本人认为“用字母表示数”这一内容的数学本质就是要引领学生建立起几个“序”：“确定的数”→“不确定有范围的数”→“不确定有范围的数可以用字母来表示”→“在同一事件中，不同的数要用不同的字母来表示”→“不同的数之间如果存在和差、倍比等关系时，其中一个用某一字母表示，另一个用含有该字母的式子来表示能清楚地看出两者之间的数量关系（比用两个不同的字母表示更有优势）”。
吴老师正因为对这一内容的数学本质有了深刻而到位的认识，能用非常朴素的材料（没有多媒体课件）把这堂课上得生动有效，这充分说明了“数学本质”在教学中的核心地位。下面领略一下这节课的动态生成过程：吴老师首先让学生对本节课要学的内容提出问题，学生提出了许多有价值的问题，其中有些就是本节课要研究的内容，更为主要的是培养了学生发现与提出问题的能力。接着，吴老师运用了年龄素材来展开新知学习，在表示某一年学生和教师的年龄中，使学生感悟到：某一年确定的数是可以直接写出来的（确定的数不需用字母表示）。然后吴老师创造了一个情境：这样不断地写烦不烦？怎样写能把这事说清楚？把确定的数引向不确定的数，并且让学生明白在年龄这组数中是有范围限制的（不可能表示300岁）。在学生独立思考、自主表示后，吴老师收集了学生生成的六个素材，让学生展开交流、辩论、评价，从中引领学生逐步生成“用字母和含有字母的式子能把这类事情都表达出来，并且简洁、方便交流”。在此基础上让学生辩论：用“b”和“a+24”都能表示教师的年龄，哪个更好？通过辩论使学生明白：用含有该字母的式子来表示不但能表示数量，而且能清楚地看出两者之间的数量关系，而用另一个单独字母表示只能实现前半部分。接下去吴老师用“桌子和椅子”的素材引领学生学习了用字母表示倍比等关系，使学生在“受不了”的感受中再次体验了用字母及字母式表示的内涵与价值。最后还安排了两道综合练习进行巩固。
提点小建议，在前面学习年龄的时候，如果设计一个环节让学生讨论：学生的年龄用a表示，教师的年龄还能用a表示吗 ？为什么？让学生通过讨论得出：在同一事件中，同一个字母表示同一个数，不同的数要用不同的字母来表示。这样提前孕伏，到后面学生做“青蛙”那题时，就不会纠缠那么多时间了。
（浙江省 陈力）
在学生想不到想不深想不透的地方下功夫
——评张齐华老师《用方向和距离确定位置》一课
“大海航行中的船只遇到故障，救援人员最需要了解什么信息？”张齐华老师就用这一个情景作课堂主线，一境到底，贯穿整个教学设计。这样做，不仅能有效地避免材料的堆砌感，还有利于学生层层深入，进行探究。
学生“想不到”之处：船所在的点在东北方向，它的位置，到底是说“东偏北”还是“北偏东”，很多学生给出很多自己的看法，这说明在认识上存在着不少疑惑。
比如有的学生提出“就近原则”：船离北近，所以应该说“北偏东”；
有的学生认为该用“沿袭法”：沿袭已经有的说法，比如常见“东北东南”，而没有“北东南东”的说法。
还有的说找“标志物法”：以太阳、北斗七星为标准。
听起来似乎都有道理。
张老师的应对策略：提醒学生，船只在茫茫大海之中航行，你们没想到的指南针，作用不可小觑，所以一般大家约定俗成地选择以正北或者以正南为标准。这一说法得到学生们的认可，达成共识。教师作为“平等中的首席”，其作用得以充分体现。
师者，“传道授业解惑”，教师在关键时刻答疑解惑，该出手时就出手。
学生“想不深”之处：学生在找船位置的时候，虽说也是按照方向和距离去找，最终也能找到，但是学生囿于年龄，还做不到把它去情境化，进行提炼概括，成为概括性知识。
张老师的应对策略：追问：为何需要两个要素？只告诉方向行吗？只告诉距离呢？
同学们会惊讶地发现，这是一个目标逐渐缩小聚焦的过程。“南偏西”——一大片（面），45度——一条直线，5km——一个点。
学生“想不透”之处：
学习新知后，同学们一般还做不到“瞻前顾后”“回眸一望”：把今天学的《用方向和距离确定位置》和以前学的《用数对确定位置》进行比较——两种“确定位置”之间，有什么共同之处吗？
张老师的应对策略：引导学生回顾思考：用数对确定位置，那个点是怎么确定的？一条横线和一条竖线相交，会行成一个点；用方向和距离确定位置，距离灯塔3千米（距离）之处，符合这样条件的点形成了一个圆，但是再加上一个限制条件“北偏东30度”（方向），同时考虑两个因素：方向和距离，也就是圆和直线相交。都是相交，这样就找到二者之间的联系。
知识不求多而求联，把今天学的新知和以前学的知识之间进行打通。有联系的知识经过结构化之后，储存起来之后，更加方便提取。
学生想不到、想不深、想不透之处，老师必须有为。
（浙江省 杨迎冬）
自主成就精彩
——贲友林老师《年月日》教学之赏析
“教师是学生的旅伴，一路牵手同行，活泼泼地走向未来。”这是贲老师的“名师慧语”。对照今天《年月日》的课堂教学，恰是他慧语最绝妙的演绎。
一、基于内容特点，选择自主研究
《年月日》需要教学的知识很多，包括认识时间单位年、月、日，了解它们之间的关系，知道大月、小月、平年、闰年，记住一年中大月、小月的个数，知道平年、闰年的天数等等。这些知识点大都属于常识性知识，没有太大的探究空间，怎么办？且看贲老师的招数。
1．课前学习——延展课堂的边界
贲老师让学生在课前进行自主学习，学生不再单纯地依赖老师去教授知识，可以通过观察年历、翻阅书籍、请教家长，也可以通过互联网去了解相关知识，极大地拓宽了学习的空间与方式。
2．提供导学单——提升自主学习的效度
凡是预则立，不预则废。贲老师提前介入学生的课前学习，精心设计了导学单，包括以下三个问题：（1） “关于‘年、月、日’我知道了什么？（2）关于“年月日”，我的疑问有哪些？（3）我收集的有关‘年、月、日’的知识、数学故事”。让学生的自学有了方向，保证学习的有效性。
二、基于课前学习，凸显自主交流
在贲老师的课堂里，真正践行“三不”：学生能讲的教师不抢着讲，同伴能释疑的教师绝不出手；学生听不懂的教师不强给。管住自己的“嘴”，做一个智慧的听者；把学生推到学习前台，教师适时隐退“二线”。
1．我知道，我汇报
预习过程对学生个体而言都很有收获，会有分享的愿望；但独立学习又难免有遗漏或者错误，需要在交流中补充与改进。从教学现场可见，这样的过程绝不是形式，伙伴之间的交流都是那么投入与顶真。且看课堂实录：
生1：每年有12个月、都有365天，有时也是366天；年有平年、闰年；一年有7个大月、4个小月、1个平月；2月天数会变化。
师：谁有补充？
生2：7个大月是1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月；4个小月是4月、6月、9月、11月。
生3：4年中，有三年是平年，一年是闰年，年份除以4，没有余数的一般是闰年。
生4：二月是28天的是平年，29天的是闰年。
就这样，学生在交流中学会倾听，没有重复，补充的恰到好处，直至知识的完善。
2．我存疑，你来解
课前学习，鼓励学生质疑问难，这是一种深度学习。课堂中，孩子呈现多个疑惑，如：为什么七月、八月连续有31天？为什么二月份天数特别少？年月日是谁发明的？……。面对这些问题，答疑的主角依然是学生。于是，课堂上就出现了“古罗马凯撒和奥亚斯都的历法故事”，故事情节一波三折，但贲老师和孩子们都是耐心地听着，从故事中获得了答案。这个过程，学生表达并不流畅，故事亦稍显冗长，但这样的生生互动交流，恰恰是最美好的。
三、基于学习要点，教师适时点拨
深入课程改革的当下，要倡导学生自主学习，营造民主平等、互动对话的课堂文化，引导和鼓励学生独立思考、主动探究与合作交流。当然，凸显学生学的同时，教师何时介入，如何引导，课堂中尽显贲老师的教学智慧。
1．适时引导，使交流更深入
在学生自由交流时，呈现信息往往是碎片化，需要教师及时引导，使交流更有序，构建知识板块。如：孩子们在交流“关于年月日，我知道……”，知识点已经很全面，但缺少勾连。于是，贲老师提出“我们一起来整理年月日之间的关系”，引导孩子先后分析了“年与月”“月与日”“年与日”的关系，最后形成了一幅知识结构图（如下图）。
2．适时补充，使理解更充分
学生自学，并不意味教师可以不作为，反之，需做更多的了解与解读，需有更灵动的应对与指导。贲老师对于学生自主学习的情况了然于胸，知道孩子学习的程度，掌握学生的疑难，明确学生的认知盲点。知己知彼，进退自如。当孩子们自信满满介绍记忆大小月的“拳头法”“背儿歌”后，待所有孩子理解后，教师不紧不慢推出：七前单月大，八后双月大。言简意赅，简明扼要，便于学生记忆。又如：学生提出“年月日是谁发明的”，课堂一片寂静，学生无人回答。此刻，贲老师借助课件，娓娓道来：根据“黑夜、白天、黑夜、白天……”的规律，确定一个周期为“日”；根据“弯月、满月、弯月、满月……”的规律，确定一个周期为“月”；又根据树木生长的季节周期确定了“年”，让孩子们比较直观的理解了“年月日”是非人为的规定，而是依据天体运行的自然规律。
以生为本、以学为主，应该是课堂教学的新常态，让我们以贲老师为示范，努力地践行。
（浙江省 田小勤）
学员课评
数形结合彰显数学之美
——听刘延革老师《数与形》一课有感
赴一场盛宴，赴一次约会，因为“千课万人”，才与刘延革老师因缘际会。今天刘延革老师上的《数与形》是人教版六年级上册新增的内容。这个内容并不好上，数形结合的思想贯穿于小学六年级数学学习的始终，老师们一直在渗透数形结合的数学思想，而今天课中刘老师只是分了三步，层层推进，简简单单几招就把数形结合在整节课中诠释得很到位，让听课老师叹服“以形助数”、“以数辅形”的妙处，数与形的结合是如此完美。
第一层：体会数与形之间有关系
刘老师就利用了教材给出的正方形图，让学生发现图形的规律，“能用数或式子表达发现的规律吗？”学生得到了“1、4、9、16”；“1×1、2×2、3×3、4×4”；“12、22、32、42”；1、1+3、1+3+5、1+3+5+7。刘老师使用的素材很朴素，但是老师适时引导“观察的角度一样吗？”“尽管角度不同，我们从图上仍看到了数的影子”，很好地建立了“形”与“数”之间的联系。沿着规律写下去，得到了1+3+5+7+9+11+13，“你能想到图形是什么”，又马上建立了“数”与“形”之间的联系。无需复杂的素材和修饰，很轻松地一转，使学生感受到“数”与“形”之间原来是有关系的。
第二层：体会数与形的互助关系
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64……是本课的例2，渗透的是极限的思想，在昨天张新春老师的课后，张老师认为小学生是不容易理解极限思想的，放到下一学段学习也许更好，所以今天很期待刘老师如何演绎。
数的问题可以借助形来帮助我们解决，于是设计了用图形帮助学生找找感觉，提供了三种素材任选，有正方形、圆和线段。和昨天张老师的办法一样，三种方法通过图解很快发现和无限接近1，却总感觉离1还差那么一点点。其实听课的我也一直难过心里的那一关，于是对后面的教学捏一把汗，同时多一份期待。
这时刘老师话锋一转，“看来有时候图形不能很好地解决数的问题，这是图形有缺陷的地方，那我们可以再回到“数”！于是出现了1=1/2+1/2，依次往下把后一个分数二等分，慢慢得到等号右边的分数有无数个，巧妙地回到了例2中的算式，无形中解决的和等于1的问题。听到这里，我只想说一个字“妙”！我心中的疑惑终于得以解开，我想，只有老师心里没有了疑惑，才能把知识和思考方法真正地传递给学生。
题后，刘老师追问“数与形到底有怎样的关系呢?”学生说“互相依赖”、“互相牵连”、“密不可分”，我想这是学生在这节课里最自然的生成、生长吧。
第三层：明确数与形各自的优势
在体会了数形互助的关系后，刘老师出示了两个看似平常却又目的明确的生活中的例子，分别来佐证“图在帮数”、“数在帮图”。对比了这两个例子后，刘老师引导学生提炼“数”和“形”的优势分别是什么。有了前面的第一招和第二招，学生的思维发展到了这一阶段，不能感受到彼此的妙处，只是在“图”的优势的表达上还不太流畅，这并不影响学生心中对它的领悟。
整节课尽显数学的安静之美，这安静之下又暗流涌动，学生在老师的层层推进下对数形结合的理解又深入了一步，课堂简约大气，扎实有效，正是我所理解的新常态，不浮夸，不做作。
（湖北省 宋倩倩）
等待下一个精彩
吴正宪老师是全国著名的特级教师，也一直是我敬仰和崇拜的小学数学教师。今天这次听课学习，她让我领略到了名师的风采，她的数学课朴实、亲切、自然，就像涓涓细流一样缓缓流进了我的心田，达到了一种师生合一的境界，真正让我见识到了“教学是一门艺术”。课伊始，趣已生，课继续，情更深，课已完，意未尽。40分钟像磁石把每一个孩子的心紧紧地吸在一起，把时空有限的课堂变为人人参与、个个思考的无限空间。
一、聚焦儿童
吴老师充分信任着孩子，允许每个孩子按照自己的学习方式去掌握和吸收知识。当学生中间呈现了六种不同的表示教师年龄的方法时，尽管这其中有明显的优劣之分，但吴老师站在儿童的立场上，对于学习有了错误的学生，及时送上鼓励，帮助他找到错误的真正原因，并进行真诚的评价，按照儿童的认知规律和心理特点保护着孩子们的积极性。不让任何一个孩子扮演“失败的角色”，不放弃每个学生是她教学最大的特色。
吴老师还非常善于用体态语言来感悟童心世界，如：用眼神表达、扶扶肩膀、摸摸头、在学生座位上坐一坐，甚至蹲下来与学生交流，这一系列自然的行为，细腻地向学生传递着老师的信任，同时也体现了她对学生的那种深深的爱。相信，老师如此的身体语言定会走进每个学生的心灵，这种身体力行的做法将比任何干瘪的说教更有说服力。
二、聚焦数学核心素养
学生的应用意识和创新意识是数学课程培养的重点。建立符号意识有助于学生理解符号的使用，是数学表达和进行思考的重要形式。在吴老师的这节课里，她一直在让学生从计算的思维方式转为代数的思维方式，这不是一个一蹴而就的过程，而是在反复的、不停的引导中逐步或是说慢慢的适应着。由此也可以看到，人们日常工作的思维方式和处理问题的能力不是与生俱来的，而数学在培养人的思维方面有它特殊的地位和不可替代的作用。
三、等待也是一种精彩
儿童是未成熟的个体，在预设教案尚未完成的情况下，面对着一个个“节外生枝”的问题，吴老师满怀热情地、小心翼翼地呵护和关注这 “火种”，包容他们的错误，并善于利用“错误”这种教育资源促进儿童的发展。学生能自己剖析的自己去剖析，学生能自己反思的自己去反思，给孩子们的发现以表现的空间，让学生在自主探索中促进自我成长。
在吴老师身上，我看到了真诚耐心地等待，以足够的耐心，真诚地等待孩子们的发现，相信每一个孩子都具有不同程度的潜力可以挖掘，相信每一个孩子都可以在原有的基础上学好数学。多一些宽容，多一些等待，期盼着孩子们在学习中的“发现”。关注生成，满腔热情地善待生成，使课堂不断生成的“故事”，成为学生互动交流、深入探究的重要资源。
课后，吴老师还对此次课进行了评述，倒不如说，是吴老师用自己从教四十余年积累的智慧与经验，以文字为载体，以爱为名，传递给我们所有走在教育之路上的“追梦人”。回归实际，我想脚踏实地做教学研究，用心对待每一位孩子，从读懂孩子做起，不断提高自己的教师素养，提升自己的教学水平。向吴老师学习，满怀激情和憧憬追逐教育梦想，在教育路上幸福地行走。
（湖北省 周红）
获奖信息
质疑问难奖
湖北省武汉市光谷第九小学 苏翠玲
上海市金山区朱泾小学 李丹
湖北省武汉市光谷第八小学 周琼
湖北省武汉市光谷第五小学 王佩
精彩短信奖
湖北省武汉市东湖高新技术开发区花山小学 雷雪
浙江省乐清市芙蓉镇第二小学 傅文文
学员课评奖
湖北省武汉市光谷第四小学 宋倩倩
湖北省武汉市东湖高新技术开发区龙泉小学 周红
幸运奖
湖北省武汉市光谷第四小学 舒笋
湖北省武汉市光谷第六小学 夏花花
以上老师将获得本次观摩会相应光盘
