第一个问题，关注结果，算法跟算法之间有相互验证的，有的孩子一看四种算法中只有一种它的得数是不一样的，就知道这样的算法是错的，应该排除掉。第二个问题，这些地方能看得懂？看不看得懂关注过程，关注是另外一种形式的倾听。第三个问题，这些算法有什么区别跟联系吗？当我们用这样的问题问时，一个孩子站起来说它们形式不一样，本质是一样的。能不能把这些算法归类、命名？智能机器人非常智能，但干不了一件事情，就是给自己取名字。取名字是重新发现意义的过程。我一直做一件事情就是不空谈，但是一定要给出方向。

中国教育一个最大的弊端或者至少是最大的弊端之一就是通过12年老师和学校的教育兢兢业业、勤勤恳恳地把孩子的兴趣抹杀了。

我问大家一个问题，你们一定要对我说的保持警惕，因为请专家是有风险的，他研究的方向可能跟你要努力的方向是不一样的。我们一定要形成自己的观点。好的课堂是上着上着教师就不见了！

这是一堂课，大家能够看到旁边写着这样一个体型的面积计算公式。孩子说a=0时，是梯形的面积；a=3就变成了三角形的面积公式，最后摆一摆的时候，重建知识体系的时候，三角形跟梯形虽然说缺少一个箭头，但为什么会这样？这堂课从正向看就逆了复习课的创新，这堂课用的教案就是当年贲友林老师获全国一等奖的那个教案。

以学定教的课堂追求注重以多种资源关注学生的思维、交流、倾听、表达、质疑，这对“练习—整理”型复习课有所突破，但它的不足是缺一个箭头表示，缺一个双向的箭头。那么仅仅是一个箭头的问题吗？背后是老师的一种思维方式。比如说他的课堂有表面上的互动，所以用“细节思考力”的方式再往前重建的时候，老师要介绍，但老师知道的东西不一定要教给学生。面积是可以有各种各样统一的方式的，是不是？到最后应该是这样的，所有的面积公式两两都能互化，所有的面积公式其实都是底乘以高，因为在二维的空间中就是一横一纵的。

《小学数学教师》2013年第三期就登过这样一个案例，一个平行四边形，孩子第一感觉是切成两个三角形，一年级学平面图形的认识时，学生就有把两个三角形拼成平行四边形的经验。我比较喜欢访谈孩子，我听课都要贴着学生坐。

最关键的是来自教材的知识编排，它控制了教师，进而控制学生的思维。教材是一种结果式的编排，是一个课时一个课时地没有节奏式的一种安排。教材是这堂课跟下一堂课的边界，是非常清楚明显的一种安排，但如果我们要关注孩子的思维，要让孩子的思维呈现出来，老师的问题就必须庞大，这就叫解决问题式的学习。学生需要用到的是一大片的知识，不是一个点，就有可能突破课时的限制。其实学生是在静悄悄地反抗，当你制作精美的PPT时，孩子们在课堂上，为了安全感对老师不信任的时候，他始终有两套思维在考虑，第一，我怎么想，第二，老师希望我怎么想。呈现知识树有道理但它不唯一。有这么一个案例值得我们反思复习课的不足之处。第一，把复习课上成练习课。有的老师上复习课时就拿起作业本和书，复习课不把所有的题目都做一遍，题目是做不完的，但是还是会有老师就是会这么去思考，还有什么题目没做过？第二，替代的现象。学生A说学了知识点一，老师马上就用鼠标在“一”的地方点出来；学生B说了知识点五，就把它移到“五”的这个地方。最后在黑板上呈现一个知识结构的体系，但这是老师的体系，不是学生的体系。

复习课要有综合能力，选择、判断、无中生有，根据具体的情境具体做，不是一些教条，而是个性化的教育知识。你以为我们的孩子学的是教材目录上从头到尾的那些知识吗？所有的孩子对数学的感觉是不一样的，数学的联系都是不一样的，是不是？

有一个例子，让学生找课本上20个经典的地方，学生把书都翻烂了。找到之后还要讨论、评比，看看你找的地方能否站得住脚。这就是一种综合能力。怎样提升复习课的思维含量？现实中的复习课是千篇一律的，不能光说不练。我给上课的老师提出的要求是这堂课能不能一道练习都不出？

整理型的复习课，只要老师有勇气放开，根本不用愁没有资源，作为数学老师要看到它的不一样，这就考验老师的选择、判断的能力。现在看到了复习课有这样那样的种种缺陷，包括内容记忆不全、记忆有误、对无关因素的强调等等。

形式上的缺陷，缺乏思维的提升。现场孩子们都在翻书，而不是从运算律或定义的角度去演绎出所有的定律。这表明他在他的脑袋中还没有这种加减乘除的结构。没有一个学生想到是用那个二维的表。那么这样，我们怎么样提升教学？不是说一个一个地把孩子的这些东西呈现到黑板上，如果有可能我们可以把前面6个学生的资源都呈现出来，这就是为什么要故意给他们准备A4纸和彩笔的原因，让孩子们看得清。把它都贴到黑板上，这就是所谓的呈现多种资源。让孩子们自己讨论标准。突出整理是为了看学习了什么，以及学习内容之间的联系，这就是复习的目的。很多时候我们的复习课，孩子不知道目的，没有主动去整理的意识。以后孩子的复习课是不需要上的，整理会变成一种习惯，是培养一种习惯。

整理的标准让孩子说，学生讲学生听，学生的接受度更高。这就是一个教学模式，一个弹性的教学路径。那么这样的弹性教学路径是可以迁移的，但是就是说在这个弹性的教学路径中，不同的老师会教出不同的层次，会教出不同的思维，这比较考验老师对教学的把握能力。根据我们讨论的标准，老师们能不能改一改自己的经营方式？这是当你把知识树呈现出来，显示了这些平面图形的之间的联系时，你有没有杀一个回马枪？孩子们，你能不能在自己整理的方式上也把这种联系标一标？这个时候，孩子们就会发现他写的密密麻麻的文字就没办法标箭头，那他就知道为什么这个知识树好在哪里。这就是一种体验，而很多时候，我们的老师把正确的结果呈现出来之后就下课了。老师们有没有设计过这样的练习？有的老师会去翻书，看看还有什么题目没有做，其实没必要，但你可以做这样的题目——只判断不计算。当我们在学这个课时的时候，学什么就是一个强暗示，叫学什么考什么。到了期末考，所有的单元都打乱的时候，孩子们可能就不知道用什么方法去做了。为什么？孩子们缺少的一步就是先判断题目类型，然后才是用什么方法用什么知识去做。我们为什么会觉得曹冲特别聪明？因为他想到了用转化的方法或替代的方法称象，但如果有人在旁边告诉他要用转化法，那就不叫聪明了。所以，我们孩子为什么不聪明？因为他们没有经历过前面这样一个无中生有的过程，没有经历过一个判断今天学的知识跟周长和面积有关联的过程。

当然我们还可以设计一些题组。关于做题，判断缺乏敏感性跟主动性。什么叫主动性？主动性不是说老师提示用倒推法去思考，而是在考试没有提示的情况下，你就能想到用倒推或者用其他。孩子们缺的是主动性和敏感性，这样的一个错误是中国特色的错误。当我们让孩子去整理的时候，孩子们会用自己能够接受的方式，什么意思？孩子们会用拼音，用文字，会画图，会举例。我是要贴着孩子坐的，我关注他们课始跟课中及课末的状态。孩子们自己整理的时候，他的提醒点很有可能不是重点跟难点，而是自己的发现点。比如说这个孩子“不要把行看成竖行，行是横行”，他关注的是横和竖，当然他也有其他的发现。课程在进行当中不要以为孩子们都是不动的，他继续补充“P31不要弄成是只能竖着写算式，也不要弄成只能横着写算式”，他还在关注横和竖。这就是孩子，当然他也有些事符合我们的教学目标，比如说写不写口诀的那个“得”字等。

这堂课我没有现场听，这堂课的问题是什么，就是他讨论环节的时候都是讨论，交流就都是交流，交推导就都是推导，联系就都是联系。交流标准的时候，有的标准，孩子们是不一定能够说全的，在交流的环节就可以把讨论标准的这些东西写到第一个环节上去，但是他的界限太明显。“等量齐观”地看待，“拖泥带水”地教学。所以我们的老师就在这样一种弹性化的教学当发现了孩子，把握节奏，提升思维，激发孩子的生命。

复习课仅仅是复习课吗？当你的新授课不一样的时候，你的复习课的也是不一样的。如果说你的复习课是“计算技能+问题解决”的定位，那么新授课就这样地定位，复习课就可以设置挑战性的任务，尽情挑战。形式的元素，我们一直讲教数学教的是知识，等量齐观，低年级口头表达也是一种形式，口头表达在很多时候体现的思维会比较完整，因为孩子他还不会写字，甚至于拼音都会弄错。口头表达比较容易（表格、韦恩图、箭头图），有没有想过这些形式是非常重要的？年段的设计上，低段口头，高段书面，单一到多元，模仿到灵活，最终是根据不同的内容来灵活地选择整理的方式，实现对知识的个性化整理。

辨析跟欣赏是教学的高层次的品质和要求，我们的孩子多的是训练而不是辨析跟欣赏。注意低年级孩子的学习是可以高数学化的，什么叫高数学化？他是一年级，不认数，怎么知道3+2=5？可以用很多很多的案例都用3+2=5来说的时候是高数学化。一个高三的学生要准备高考了，每天做很多的题目，但绝对是低数学化的。即便是他解出了之前没有解过的题，这也叫低数学化。低段的孩子觉得动物园购票很有意思，这种是审美，它是一个很高的境界，是个人的境界，可能高段就没有了。所以不要小看低段的学习，四五年级就是要整体把握，辨别欣赏。

其实我是不强调让一年级的孩子去整理，而是让孩子画一画他心目中的数学是什么东西。一年级的孩子也能画出些东西来，但更多的是这样的，（呈现PPT）我觉得这些很漂亮啊！这时候他学习数学是审美的，慢慢地他的学习就享受不到这种乐趣咯！所以这就是我开始时候讲的我们的孩子被我们教得没有兴趣了，这是大问题。当然根据不同的内容有不同的方法，比如这个内容，长方体、正方体的复习，这个孩子就画表格，但是他把一个东西延伸出来，感觉是像用了一个放大镜的功能，用过iphone手机的人都知道手指点着屏幕长按就会出来放大的功能，可见孩子非常灵活，连老师都想不到可以这样整理。

这就是我说的所谓的审美，有一个老师每年都要进行复习课的这种评比，这时因为有复习课的评比，反而让孩子们特别注重形式，这个时候老师的作用应该是关注数学本质。

当孩子们选择自己合适的方式去整理时，它是一种综合记忆。因为每个人整理的都不一样，当然其中也会有创造性，他可能会把一个单元，甚至一个学期学的内容缩成一张表格，这是一个由厚而薄的过程，而把它表现出来，这就是一个由薄到厚的过程，它是一种个性化的体验。

沟通是人和世界的一种桥梁。文学、摄影，我们去表达它，体育、英语、数学也是一种语言，整理其实就是沟通人和世界的一种关系。首先是人和知识的，知识是人和世界的。下次有机会我会跟大家讲一讲低年级的孩子怎么做个性化的整理，我们又试着出了几套绘本课，让孩子们自己去画绘本，画数学的理解。北京实验小学做全课程，这堂美术课就干一件事，在画布上涂颜色，但是孩子们都知道第二天要在画布上画动物，所以这堂课上就拼命涂，这样的一堂课连老师也没有什么教学目标，很枯燥。但是如果孩子有一个整体观，就会把它涂得津津有味，当中还有很多有意思的生成，比如说这两个孩子会争论谁比谁涂的面积多，谁比谁涂得厚！一天之后，第二天开始画，在一堂课当中没什么意义的东西，放在一长段时间中，它的意义就显示出来，老师的要求就是在表示地址的地方出现一个动物，因为主题是带着动物去旅行。有时候可能不知道他画的是什么，但就会觉得它很漂亮。这时候，孩子的创作跟艺术家的创作没有两样，他是沉静的、投入的、忘我的，他的生命在往外面发散。就算是数学课上，我觉得我们也是有可能让孩子们有这样的一种体验。

我们不仅仅教学科，还教学生，所以重新回到那一棵知识树，没有必要在一堂课上就把那棵知识树转一下。要相信孩子，不要急着给，也不要直接给，而是等待孩子自己生长，等待孩子经历一个过程。  

这就是复习课的特殊意义，是其他课达不到的，而且这就好像我们的课程改革，从英、体、美入手是最保险的，因为不考试！我们改革课堂转型，从复习课入手也比较保险，因为知识点反正都学过了。大家可以尝试一下。

会唱，所以没有练习的复习课为什么不要练习，孩子们练习的时间已经够多了！给他们留点时间唱唱歌吧！

作者：陈洪杰（《当代教育家》副主编）