例谈基于教科研读的教学设计（一）

我是编教科书的，今天讲得内容自然要和教科书挂钩！平时又比较喜欢听课，在听课的过程中必然会涉及教科书的编写。怎么去解读教科书？怎么去理解教科书？怎么去用好教科书？这都是我们老师平常在上课时总会碰到的一些实际问题。所以今天我们谈一谈怎么样先把教科书读厚，再把教科书读薄地过程。这句话其实大家都很熟悉。不光是教科书，所有的书都有这样一个过程。有的是先读厚再读薄，有的是先读薄再读厚，这是角度不同。那么我作为一个教科书编写者，直到现在我也不敢说把教科书先读厚了再读薄了。我会通过一些例子和你们进行交流。平时我们在教学设计的时候怎么样看教科书，怎么样利用用好教科书。那对于同样的一本教科书上的内容，不同的老师有不同的解读方式，有不同的设计方式，可能最后会取得不同的效果。

我们人教社去昆明参加了观摩课，其中不乏有很多很精彩的课，但也看到了一些问题。我想这些课精彩在哪儿？问题又出在哪儿？我们可以从这些方面去看。首先，这一节课对于数学知识，或者说我们现在所讲的技能、知识、数学思想、数学活动经验，关于数学方面的这些东西，老师有没有一个本质的理解，理解又是不是深刻到位。毫无疑问，数学老师必须要对数学形成一个本质的理解。很多出问题的课，是因为老师可能对数学知识理解的程度不够到位。第二，我们在教学的时候，必然会用到教科书，那么对于教科书上的这些呈现方式、素材，老师怎么去理解、使用，这是很重要的。第三，教学设计。有了教科书的素材以后，怎么进行教学设计。我们大家都知道进行教案设计时，首先是基于教科书，教科书上的内容是以怎么样的方式展开呈现。但当你真正具体教学时，肯定不会完全按教科书进行设计，你会设计一些情境，或者说用不同的切入方式、展开模式，所以这样的教学设计和教材又是不完全一样的。有了好的教学设计以后，到实施时，我们会发现很多时候教学设计是比较理想的，会出现很多问题。我们也会看到，老师在实施的时候会反射，从他的教学行为投射出平时教学的一些问题。对我来说冲击最大的，就是学生观。我们教学展示到底是为了展示教案还是教学设计，抑或是学生这堂课上得到的东西？他得到了什么发展？状态是怎么样的？他们的这种好奇心、探索精神有没有在这些课上被激发出来？老师在上课的关注点是在想着教案走到哪儿了，还是学生是怎么回答这个问题的？当学生回答的这个方式跟你预想的不一样的，怎么去利用这些资源？其实这是一个关于教师本质的问题：我们教学到底是为了什么？另一个问题是老师的调控能力，当这些意外在课堂上产生时，怎么样去进行生成？有时候，这些错误的资源或者节外生枝的东西，往往会给你提供更好的资源。如果抓住这些机会，老师的课会非常精彩。这两天在这些课上，感触非常深是反馈。老师们的反馈太简单了，太苍白了，太无力了。老师有时候不太会去关注学生说什么，学生回答的跟你预想的不一样，会说请坐。接着问其他的学生，总想得到自己预想的结果。对于学生的反馈，不对哪儿？好在哪儿？没有这些精细的分析，往往用“你很棒”、“你很聪明”之类，其实这些反馈在现在的课堂上是苍白无力的。所以我想还有很多事情等待我们去做，去改变。

今天主要谈三个话题。第一，怎么样看待教科书？第二，怎么样把教科书读厚？第三，怎么样把教课书读薄？怎么样看待教科书？我想从一个例题的教学说起。这个例题其实是我们前不久在浙江省教研室合作的微课的一个项目，现在我们正不断地开发数字化新的产品。在开发微课时会涉及两个维度，第一个是技术方面，我们的微课呈现方式是什么？微课呈现方式我们可以不考虑，最重要的还是这些微课要设计成什么样，想要设计得精彩。有时候方式或许没有花里胡哨，但是却把知识的来龙去脉讲得非常清楚，过程也展开得非常清楚，这很重要。个人觉得这是把微课做好的核心。再来看这道例题，当时我在省的一个微课，因版权问题，我只是把流程展示出来，这里面和我们教科书有关的，和教科书的编写意图有关的，老师在理解这个教材的时候，当然会产生了一些的误差，有的时候是教材编的不够明确，或者说教材编的不够完善。大家看一看具体的例题：有一个孩子说，我五投三中，另外一个孩子说我六投四中，那么老师现在提出一个问题，他们谁投得准一些？这是一个什么问题？就是求一个数是另一个数的几分之几，然后进行比较。那么有的孩子说，三除以五等于五分之三，四除以六等于六分之四。另外有一种孩子说，三除以五他得到了小数的结果，到此为止，大家认为这个问题解决了吗？如果是解决谁投得准一些，显然已经解决。这个时候老师又说，我们可以写成百分数，通过百分数的大小比较。这样的学过程大家应该能明白了吧，可以通过三种方式，一种分数，一种小数，一种百分数。为什么我们要用百分数？我们看看教材的问题是什么？他们两人的命中率分别是多少？谁的命中率高？这两个问题有什么区别？命中率指的指的是一个数占另一个数的百分之几，所以如果要求命中率，必须把结果转化成百分数。百分数只有在求命中率的时候才有这种需求，把教材上的问题用那样一种方式呈现，百分数出现的需求就不存在。当老师改造教材的时候，换一种说法就会出问题。这个例题中间，知识点有哪些？分数大小比较、通分、小数分数互化、去近似值，还有百分率的理解。所以在这个问题中，新的知识点有两个：1.求一个数是另一个数的百分之几是多少？这是过去的一类的实际问题的解决。2.分数、小数化为百分数的方法。用过人教版教材的老师应该记得，过去教小数、分数、百分数的互化是怎么教的，它用了四个例题。第一个例题是小数化为百分数，第二个例题是百分数化为小数，第三个例题是分数化为百分数，第四个例题是百分数化为分数。那现在为什么要这样改编，我想最主要的原因是要突出转化的必要性。过去我们的例题是直接指令性的，比如“请你把这个小数改写成百分数”。做了这样的修订后，我们知道把分数和小数化成百分数是实际的需要，因为题目最后的结果要用百分数表示，不能用分数和小数表示。那么什么情形下需要将百分数化成小数或分数呢？最直接的应用就是求一个数的百分之几是多少。如果说五十乘上百分之五十，如果不把百分之五十写成分数，你是不会计算的。这个时候才有要把一个百分数化成小数或者分数的需求。所以我们把这两点知识融合起来，就是为了体现出分数、小数化百分数的需求性。而在后面的一个例题里是求一个数的百分之几是多少的时候，要把百分数化成分数或者小数，所以背景交代清楚很重要。那么为什么在编写教材的时候，左边编写的是小数化百分数，右边编写的是分数化百分数？因为三分之二除不尽。先教小数，然后再去解决三分之二的问题。所以就这么简单的一道问题，由于问题提出的方式用左右编排的形式也很有讲究。如果老师在这样一道例题上理解不到位的话，可能就会在教学设计上出问题。

如今是一个大数据的时代，是一个数字化的时代，是一个云计算的时代，怎么样来看待新时代下教科书的功能？知识的来源不再像之前一样只来源于教科书了，我们可以从手机、网络及各种地方获取。现在这些孩子得到的信息容量远远超过我们上学的那个时候。过去我们教科书的呈现方式是静态的、呆板的。科技在进步，我们的生活方式在改变，对于孩子而言，教育也一样。教与学的方式发生了很大的变化，我们现在用微课的形式、慕课的形式、翻转课堂的模式，最近开始出现弹幕的形式。这些方式都冲击着我们传统教育学的方式。那么我们传统的教科书，它的作用和定位怎么样去鉴定，给我们提出了很多思考的空间。我们是编纸质教科书的，但是当这些新技术来临的时候，将来我们用什么样的方式去呈现？那么教材到底是什么东西？数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题，基本线索和知识结构，是实现数学课程目标，实施数学教学的重要资源。所以这是一个重要资源，不是唯一的资源。我们的教材也不光是教科书，还有很多其他的教学材料。我们给孩子的学习提供了一个主题、基本的线索和知识结构。我们的教材不能完全和教学过程一样，教材是很难完全教学过程化的。在教学中，我们看到的现象是什么？有时候老师特别忠实于教材，这是多年以来的文化影响。在过去的年代，中国人所用的教学材料甚少，只有教科书，以至于老师对教材看得特别重，教材怎么说的上课就必须怎么说，非常忠实于教材。我们看到特别忠实于教材的这种教学设计，教学往往变成了教材静态内容的一种分布呈现。我们要从“教教材”到“用教材教”，这句话大家耳熟能详，是不是真正的实现转换了呢？我们是不是真的在用教材教了呢？我们有没有建立起一个特别好的教材观？这才是一个基本的载体、基本的素材，在研究调查时要研究显性的材料背后的一些东西，包括它所蕴含的这些数学思想方法和知识点的建构。大家回忆一下刚才那道例题，就这么呈现出来的，就是求命中率，大家有没有体会到为什么要用命中率引入。所以理解这个教材不要再像过去那样“教教材”而是“用教材去教”。能在教材的基础上有所发挥，并规避教材中一些不太合适的地方，让它创造得更好。这样完美的转化我们是不是实现了？

今天听完课以后，我们有很多感概。“鸡兔同笼”问题，这个内容原来是放在六年级的，现在提到了四年级。首先要想为什么要叫“鸡兔同笼”问题？“鸡兔同笼”问题是干什么的？我们可以看整个教材的呈现过程。首先呈现了古代经典《孙子算经》上面的一个鸡兔同笼问题，这是一个比较复杂的35个头，94只脚的问题。学生在解决的时候，老师让学生猜测可能有几只鸡几只兔子，有的孩子猜12只鸡，23只兔子。这个时候老师就停止了，为什么不让学生继续猜？算一算有多少只脚呢？为什么要在这个时候停止？大家都去猜，就会有各种猜法。这个问题很复杂，我们来解决一个更简单的问题。教材是有这样一种思路，就是遇到一个难的问题时要化繁为简，来解决一个相对简单的问题。在解决8个头26只脚这样一个简单问题的时候，怎么样发现鸡和兔的只数，这个时候其实还是猜。有的猜是6只鸡、2只兔子，有的猜是3只鸡、5只兔子。可以让孩子去经历这样一个过程，但是今天这堂课所有的过程都是老师带着孩子。我们怎么样不重不漏地把所有可能性列出来？其实无论做教学设计，还是做数学知识都是一样的，但如果把这个过程交给孩子完成，孩子会得到各种各样精彩的结论。他们会逐渐地从一些没有规律的想、无序的思考，慢慢地过渡到有序的思考。一旦这个过程由老师包办代替，整个孩子的这种状态便不会激发出来。所以同样的内容，我们都是从经典的问题到简单的问题，总体的教学设计的流程是一样的，但是由于在设计的时候，有些结论性的话是老师说的，还是学生说的？这就变成了完全不同的实施了。我想课堂的精彩程度效果以及一个孩子在其中得到的了什么，这是很重要的。

如果孩子只是跟着老师走，那么他下次见到这些问题时还是不会。所以我们就是要让孩子在猜的过程中去发现，当鸡的只数减少，兔子的只数增加时，每把一只鸡换成一只兔子，脚就增加了两只。当发现这个规律以后，再去探索方法，一切就水到渠成了。三方面，课标，教材，还有课堂教学。教材是根据课标的这种思想编写的，课堂教学一方面是参考教材，更多的是在课标的理念下去实施，课标作出修改，教材就要作出修改，这三方面互相形成作用。不管它怎么影响，我想到三个方面。第一，社会的需要。社会需要孩子掌握什么东西？第二，数学的特点。我们要让孩子了解数学的什么？第三，儿童的认知，尤其是小学，我们在安排各部分内容的时候，要符合儿童心理发展的阶段。不管课标，教材，还是课堂教学，这三方面都是必须要考虑的。我想最后的评判标准就是看孩子，不是看老师在课上表演得多好，而是看孩子在课上的精神状态。我们经常会看到一些什么课？孩子一开始特别兴奋，尤其在暖场的时候，可是上着上着，孩子的这种状态降下来。大家都听过很多课，很多课把孩子本来有一点清晰的概念教糊涂了。“以学定教”其实很简单，关键看孩子的状态，先不说孩子获得了多少，只看他的这种态度情感、探究的欲望、兴趣有没有提高。这其实是一个很重要的指标。老师在教学时有一个好的教材观，是非常重要的。

第二，怎么要把教科书读厚？我们中国的教科书有多厚？我特意找了到一套美国教科书。我们两套教材加起来，跟它一样高，当然也有纸张的问题。我们的教科书的确不厚，但其中承载的东西很多。实际上在评价中国教育时都觉得我们中国的数学内容多，这种情况下我们怎样把我们的教科书读厚，把它里面的东西充分挖掘出来？第一点就是怎么样充分利用教材所提供的素材。举几个简单的例子，比大小的时候出现了一个主题图，3只猴子在吃水果，里面有一些桃、梨、香蕉。教材上就把3只猴子和桃建立一对一关系，和香蕉也建立这样的关系，然后引出同样多，多些少些。有的老师因为教材是这么编的，照搬不误。实际上这些素材中，还有很多可以用的素材，比如桃和香蕉的比较、桃和梨的比较、香蕉和梨的比较，当然也有很多老师会做这样的挖掘。第二点就是要从理解性的角度去理解知识定位，加强横纵联系。任何一个知识点都不是孤立的，尤其在我们小学数学中，有些看似很简单的知识点，实际上它都是跟各个知识点之间有网络状的千丝万缕的联系。举一个简单的例子，分解质因数。现在在教材中不作为正式的教材内容，我们向课标的专家提出，希望能把分解质因数作为正式的教学内容。理由其实是因为前概念和后概念之间的相互联系性。我们小学相关的知识怎么和分解质因数产生联系。大家都知道，我们在教因数和倍数单元的时候，首先教的是2、5、3倍数的特征。那么大家有没有想过，为什么要教2、5、3倍数的特征？只是为了了解这个知识点吗？过去实际上是为了分解质因数时能够比较快地分解。质数和合数在课标里是有的，什么是质数？什么是合数？了解这些有什么用？互质和质数没有关系。有了质数和合数的概念以后，才有分解质因数的概念。要把一个合数分解成若干个质数相乘的积，这时候才会用到基数和。还有一些细节，比如我们在讲分数化成小数的时候，在这些题目里面有一个要求“能够化成有限小数的化成有限小数，不能化成有限小数的保留两位小数”。怎么判断能不能化成有限小数呢？过去有一条的规则“这个数里面除了2、5以外，没有其他的质因数，就是可以化成有限小数的。如果还有其他的质因数，是不能化成有限小数的”。现在没有分解质因数，这一条就不存在，没法判断。所以只是一个题目的要求，由于缺少了分解质因数这样一个知识点，就没有办法去操作。更不用说分解质因数的思想、方法，以及将来到中学后要学的因式分解。不会因式分解就不会解高次方程，不会进行分式的运算。所以小学的知识不只是和小学的相关知识有联系，还和中学的一些思想、方法，建立起这样的联系。有时候你发现，当一个知识点忽略后，整个网络链条就断掉了，所以我想我们在理解一个知识点的时候要瞻前顾后、左顾右盼，不只要理解在同一个知识领域，还有不同领域里头的。比如数与计算的领域里面，前面要有怎么样的铺垫，建立什么样的基础，后面为什么内容做准备。知识要理清楚，还有左右关系。最简单的例子，扇形统计图。首先要知道扇形。扇形是什么内容？扇形是几何的内容，图形与几何的内容。要知道百分数，我们在认识扇形统计图的时候，经常用百分数解决实际问题。百分数是什么内容？数与代数的内容。所以在扇形统计图这样简单的内容里，其实包含了数与代数、图形与几何、概率统计，这三方面内容。再举一个例子，有余数除法。在二年级下册开始学习有余数除法。为什么要学习有余数除法。很多老师回答不上来。这是1924年的民国教材，民国教材从一开始引入除法的时候，就用分数来表示。当数据变大，口算能力不够，要进行笔算的时候，195除以3是整除。但在除的过程中我们先用190÷3，得到的就是18余1，这就是有余数除法。当我们要大数据计算的时候，中间过程必须要有余数除法。所以我以前编教材的时候，一直在迷惑这个问题，为什么前面要用余数除法，后面就用小数来表示了？因为没有学有余数除法，这个问题是解决不了的。那么在这个问题中，在进行除数是一位数的除法时，涉及到什么知识？表内的乘除法及两位数的加减法。如果编教材的时候把这两个内容顺序变化了，那就麻烦了，所以搭建教材结构的时候，特别容易出现漏洞。有时候漏掉一个，后面全都没用了。再看除数是两位数的时候，同样是有余数除法。大家都知道两位数乘除一位数的口算，课标从第二学段移到了第一学段，就是因为这样一种情况。13乘5这样的计算在我们的除法过程中，这是笔算除法，但是里面有口算乘法。因此这些内容在相关的地方要有铺垫。有余数除法和整除有本质的区别吗？有的老师说我们有两种除法，一种是整除，一种是有余数除法。怎么样去理解余数的概念？余数能不能是零？老师们觉得余数可以为零吗？可以！可以比除数大吗？余数其实是可以比除数大的，只不过在大的时候，还要再继续除。现在我们理解的余数就是那个最终不能再被除的余下来的数。但实际上，我觉得我们应该用一种更一般的角度去理解余数，就是剩下来的数。我们不要特别绝对化，包括问能不能是零。我觉得像这样的问题反映了大家在学术上特别较劲，其实是没有多大意义的。要理解余数的真正意义是什么。除法的本质就是分。怎么分？要平均分，平均分才可以用除法。那么分的结果会怎么样？有的时候分完了，余数是0了，这就是整除。有余数除法和整除是完全没有冲突的概念。那么怎么样去处理好教学的层次？我们在教材上编写了四个例题。老师们有没有理解为什么要编四个例题？每一个例题他的教学要点是什么？第一个例题就是刚才我讲的。我们突出除法的本质，除法的本质就是平均分。最终的余数为什么要比除数小？这不是规定，是归纳。那么例3要从分到算。例2用小棒摆正方形。为什么商要大于1，余数要大于0。当这个数越来越大的时候，每次都是画图去圈，显然不是好方法。竖式计算其实就很简单，口算不够就要用笔算。有的是用短除的方式，各种各样。于是在列竖式里，就出现了一个新的数。我们是先出现有余数除法的竖式，然后再出现整除的竖式，这个过程跟过去不太一样。所以从这点上也可以看出，有余数除法才具有一般性，而余数是0的是有余数除法的特殊性。最后例4才是从算理慢慢过渡到算法，为什么可以这样去算，怎么样去算，这就是算法总结的道理。这样的四道例题的层次就很清晰。我想理解教材应该从前后知识的关系去理解。混合运算和运算定律天天在用，为什么在学完了10以内加减法后安排连加、连减、加减混合的学习？我们在做进位加的时候就是在做连加，在做退位减的时候就是在做连减。所以一年级上册的时候，连加、连减、加减混合主要的目的是为这做铺垫的，不一定是从算法上做铺垫，而是从思路上。课标里写得非常详细，第一学段和第二学段中关于混合运算有什么样的要求。为什么在小学阶段要学习混合运算？价值何在？混合运算只是为了解决实际问题吗？大部分老师认为是为了列综合算式解决实际问题；有的老师想到了更复杂的问题，如当学生算不出来能列方程时是不是只能列出一个混合运算的方程；有的老师说为了思维的完整性，当我们用综合算式来想问题时，思维要高度抽象，更加完整，这些都是理由。那我们要追问，是不是我们在解决实际问题的时候，就不再要求列综合算式了呢？如果不要求的话，将来孩子遇到实际问题时，列综合算式的能力会大大下降。举个例子：苹果每千克7.8元，梨每千克6元，妈妈买了4千克苹果和4千克梨，一共花了多少钱？列式有不同的方法，题目里隐含了运算定律、乘法分配律。解决这样一个问题，我们可以不列综合算式，可以分步解决。说到方程，如果是这样一类题目：苹果每千克7.8元，梨每千克6元。妈妈买了6千克苹果，还买了一些梨，一共花了70.8元。妈妈买了多少梨？这个时候列方程。这个方程是不是要用综合方式？没有必须。我们可以这样分步算，列一个最简单的方程。所以运算、混合运算、运算定律，我们从名词上就可以看到，都是为运算服务的。那么运算不只是小学的事情，小学更多的是算术，到了中学以后，如果我们都用字母表示，这个时候还能分步吗？不能分步了。因为算不出来，所以这个时候就需要用这种综合的方法来呈现。

作者：丁国忠（人民教育出版社小学数学室编辑，副编审）