“千课万人”全国小学数学“新常态课堂”研讨观摩会
11月19日互动专刊
寻找不同中的相同
——罗鸣亮老师与刘德武老师《小数的意义》赏析
同样是《小数的意义》教学，一节，可谓“跌宕起伏、充满挑战”，一节，则是“娓娓道来，理性朴素”。要将两节风格迥异、设计不同的课放在一起欣赏剖析，似乎不那么容易。但是，如果我们从概念教学的内核出发思考，或许可以找到其相同的妙处与深意。我们一起来思考：
一、高立意——凸显概念本质，关注核心素养
从某种程度上讲，目标立意，是衡量一节课最为核心的要素，决定着一节课的走向与深度。帅气激情的罗明亮老师，朴素家常的刘德武老师，从目标立意的角度分析，带给我们怎样的启示呢？
数形结合，彰显本质理解。
“一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几……”，如果仅仅是让学
生记住概念语言，显然并没有从本质上完成概念的构建与理解，怎样使学生真正理解0.7、0.88、0.524表示的意义？两位老师均借助了图形直观作为概念理解的支撑。两节课中，动态、多次呈现“平均分成十分，涂色部分占了这样的1份、2份、…8份，就是十分之几”，……，“直观图——十进分数——小数”三者紧密融合，非常清晰地构建了三者之间的联系，致使意义不再“浮于表层”，而是“直观可感”，从而达到“本质理解”的层面。
虽然两节课分别用了二维图（正方形）、三维图（立方体）作为理解的载体，但显然各有优势。罗老师的课中，对于直观图的使用与呈现，让学生经历了从“眼中有图”到“脑中有图”；从“十等分、百等分”到“五等分、自己等分”的过程，致使学生的意义理解逐渐直击本质，趋近深入，真是妙不可言！刘老师的课中，利用“立方体图”作为理解支持，在三位小数的直观理解中也是优势明显，“0.524是由5个0.1（一层）、2个0.01（一条）,4个0.001（一个）”组成的，在图中清晰可感，这显然是平面图所不能做到的。
着眼发展，体现核心素养。
是否将目标仅停留于“理解小数的意义，沟通小数与分数之间的关系”呢？
有没有可能使目标视野更高远一些，将学生发展的着眼点看得更长远一些呢？两节课为我们提示了不同的“发展性”视角。
“培养数感”。罗老师的课中，有两个问题，问题一：“0.524可能和什么有关？”学生答：“和生日有关”，“生日写成小数有意义吗？”问题二：“□.□□，我的身高有一个数字3，猜一猜”，答曰：“3不可能在个位，不可能有3米多”、“不可能在小数点后面第一位，我的身高都有1.3米多”，至此，“在具体情境中选择合适的数”这一数感培养的目的已悄然实现。
“发展思维”。抽象、概括、比较、推理是重要的思维方法，有可能在概念教学中发展思维能力吗？ “0.1、0.2、0.3表示十分之一、十分之二、十分之三…，能不能概括的说？”“这样很概括”。“零点几就是十分之几、零点几几就是百分之几，能不能推出新的东西？”“这叫推理”。如此生涩的词语，有可能让学生理解吗？从课堂观察看，“抽象概括”、“类比推理”，这些“深入”的思想，因为有了“浅出”的“打比方”、“举例子”而显得水到渠成。
目标虽各有侧重，但显然，两位老师均不满足于知识技能层面的目标，而是着眼长效，将核心素养的培养、思维能力的发展作为重要的目标加以实现。
二、大背景——瞻“前”顾“后”思考，贯通知识体系
“实现知识顺应，纳入已有结构”，这是两节课均有的鲜明特点。罗老师从“一个10是10,10个10是百”，到“不到1，怎么表示呢？”从1的“累”到的1的“分”，顺利完成了整数、1、分数之间的关系沟通，将新知顺利纳入已有的知识结构中。刘老师则是从0.8、0.6的“读小数”到“小数加减”，从《现代汉语词典》中“意义”的两层解释“表示什么？价值”，实现了“已经有什么”到“还要学什么”的转换，学习主题、学习目标十分明确。
“激活已有经验，贯通知识体系”，“瞻前”“顾后”，是两节课的又一特点。罗老师的课始，“一位小数环节中，出示正方形“1”，呈现涂色部分，让学生用一个数表示，“2/3”、“0.2”、“0.8”的猜测与验证过程中，“有人说2/3，有人说0.8、0.7，礼物该给谁呢？讲道理”。互动中，让学生充分感受分数与小数的“同”与“不同”，感受“同”：都是分数；体会“不同”：平均分的份数不同。有效激活了已有知识经验，并提升了新的认识，充分体会到：小数是分数，是一种特殊的分数，与“十进分数”有关，打通了新旧知识之间的联系。刘老师的课末，揭示“小数的意义是很多知识的基础，还会学‘性质’、‘意义’、‘加减’、‘应用’。此环节虽显生硬，但是，将“知识置于体系中让学生明晰”，这一意识似乎也值得借鉴。
三、好材料——追求结构精致，实现功能多元
纵观两堂课，在材料构建与设计方面，可圈可点之处颇多。罗老师重“精致巧妙”，刘老师重“简单直观”，限于篇幅，笔者从罗明亮老师的材料选择中撷取几则欣赏。
材料1：涂色部分用哪个数表示？（图1）
材料2：用小数表示涂色部分。（图2）
材料3：如何在这个图中表示出0.524呢？（图3）
材料1——功能一，巩固一位小数意义；功能二，引出两位小数的学习需要并探索两位小数的意义。
材料2——功能一，进一步加强一位、两位小数的意义理解；功能二，体会进率，10个0.01就是一个0.1；功能三，小数性质的渗透，“小数末尾的去掉0或填上0，小数大小不变。
材料3——功能一，检验意义理解；（“先分成10份，一条是0.1，涂5份，下一行分10份，涂2份，表示0.02；下一小格分成10份，涂4格，表示0.04，学生对一位小数、两位小数、三位小数的意义理解十分到位）功能二，掌握小数的组成；功能三，引出数轴，初步体会在数轴中“数”与“点”的对应。
进一步思考：
或灵动、或婉约、或激情、或简单，课的演绎，往往因教师的个人风格及个性特点而呈现出不同的特点，但是课的认识、理解、提取、演绎，又往往呈现出不同的精彩。在罗明亮老师与刘德武老师《小数意义》的不同课堂中，我们分明看到了“各美其美，美美与共”！
但是，我们也可以进一步思考：“以问答推进”似乎是两节课的共性，鲜有任务驱动下的全体思考，学生参与度如何呢？是否有可能让学生参与更充分一些呢？是否可以将任务空间、问域空间设置宽阔一些，在学生全体参与、独立思考的基础上，将不同材料进行呈示、分析、交流，而不是让部分学生的思考代替全体学生的思考，成为教学进程推进的理由呢？
（浙江省 潘红娟）
换个角度看分数
——听刘松老师教学《分数的意义》有感
从课前的“1+1≠2有时也是正确的”，到课堂中一个个问题情境的呈现与分析，至最后刘老师再一次小结“以后同学们在学习过程中要养成一个良好的学习习惯，看问题要学会换一个角度来思考”，刘松老师执教的《分数的意义》一课中不断地引领孩子们学会换个角度看分数。
学生在三年级已学过《分数的初步认识》，通过学习，他们对于分数的认识基本停留在用分数表示“部分与整体”的关系，比较单一肤浅。那么本堂课中刘老师希望学生换个怎样的角度来看问题呢？让我们一起走进他的课堂，去细细解读与品味他是怎样引领学生来再认识分数的。
角度一：认识分数的绝对性与相对性
整个小学阶段，学生对于数的认识从自然数向小数、分数延伸发展，由绝对数值向相对数值拓宽。从认识表示数量与顺序的绝对数值到认识表示相对数值的分数，相对于自然数而言，无疑是一次“数的认识”过程中质的飞跃。在课中刘老师精心创设情境，引领学生一起较好地探讨了分数的绝对性与相对性问题。
1.两个角度理解分数的相对性
课中刘老师设计了多个情境来引领学生认识分数的相对性，如“给不同图（3朵花、6朵花、12朵花）的
涂上颜色，说说涂色的花各有几枝”，并讨论“为什么都是
，但是每幅图里涂色的花数量是不一样的”；再如呈现
与相应的三幅不完整的图，来讨论单位“1”的数量等等。在学生较好地解决这些问题的过程中，相信他们已经较好认识到分数的相对性：同一个分数因“单位1”的不同使得它所代表的数量多少也会不同。当然同一事物因相对的“单位1”不同而需要用不同的分数表示。分数的相对性这一非常抽象的本质特征也随着问题的解决逐步得以深刻地认识与理解。
2.从“率”与“量”的辨析中理解分数的绝对性与相对性
分数可以看作是除法的另一种形式，是分的结果和比的结果，以“具体数量”与“抽象的数”两种形态呈现，即分数的绝对数值和相对数值。对这一问题的辨析一直是教学过程中的难点。
为了较好地解决这一问题，刘老师课中巧妙地创设了情境：“红绿两根丝带一样长，红丝带用去了
，绿丝带用去了
米，哪种丝带剩下的长？”在辨析的过程中，通过大于、等于、小于1米的三条线段的呈现与讨论，将
与
米作了一次又一次对比。无论总长度怎么变化，但
米始终不变，而
每一次都会随着单位“1”的变化而不断调整。分数作为绝对值与相对值的存在通过一个情境中的多次对比得以不断清晰。分数既可以表示“关系”，也可以表示“具体的量”，刘老师在教学中找准了“对接点”，在两种意义的沟通上作了巧妙无缝衔接。
角度二：从度量的维度认识分数
分数意义理解主要分为四个维度：比率、度量、运作和商。这四个维度中很容易被忽视的一个维度是度量。分数的度量即指可以将分数理解为分数单位的累积。本节课中刘老师很好地引领学生们体验了“度量”这一分数的意义，感受到分数单位的重要性。
1.从分数的产生来认识度量
分数是怎么产生的？是基于日常生活中实际需要，在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示。
仅此而已吗？刘老师的课中将分数产生与度量很好地进行了结合。现场时光穿越回到原古时代，让学生用木棒测量黑板的长度。学生在分数产生的过程中充分认识到度量的意义，体会到分数单位的重要性。有了分数单位，人们便能表示出更多的分数，也就能很好地进行有效地度量。分数单位的重要性在解决实际问题中自然呈现。
2.从度量结果来认识分数的意义
从单位“1”的认识来认识分数单位，再把分数单位作为学生认识的另一个起点，重新构建对分数的认识。分数墙的构建过程中，从分数单位
、
、
到
,学生也学会了用更多元、更丰富的角度来客观地认识分数。就这样，刘老师利用分数单位，通过度量，来充分地理解分数的意义，很好地构建起分数认识的一个回路。
通过下图的梳理更是很清晰地认识到分数产生过程中几者之间必然的密不可分的联系。
角度三：从“分数表示两个数相除的结果”来认识分数
小学阶段的教学中，分数的教学一般都采用份数的定义，分数份数定义是学习分数的起点。但从数学的观点来看，商的定义体现了分数的本质，符合数系扩张的数学思想。
张奠宙先生在《分数的意义》一文中提到：这种用份数定义的分数，易学好懂，但其内涵却很局限，并且容易造成学生的思维定势。分数是一个不同于自然数的新数，正整数a除以正整数b的商，记作
。整除时，结果是自然数；除不尽时，得到的商就是分数。分数的本质意义应是两个数相除的结果。
在本节课中，刘老师从分数产生的角度也渗透了分数就是两个数相除的关系。分数的产生还可以从内部找到解释，比如计算除法时，7÷7、6÷7、8÷7、……a÷b，都可以用一个分数来表示。使得分数的的意义从单一走向完善。
相信刘老师所要体现的角度不止这些。换个角度看分数，分数依然是曾经学过的那个分数，即“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数就是分数”。但是通过这节课的教学，显然学生对分数文字定义的背后又有了不同角度的认知，它是关系、它是度量的结果、它是一个商等等。分数是简单的却又是复杂的，分数是丰富的，也是灵动的。刘老师的课不仅让学生，也同样让在场的老师们对于分数的意义有了更深刻地认识。
引领学生学会换个角度看问题，教师必须首先具有换个角度看问题的能力。刘老师的课让我们强烈感受到他对于分数这一知识体系理解得非常深刻到位，只有具备了这份能力，才能引领学生的学习从浅显走向深刻，从单一走向多元，甚至是学会思维方式的转变，让与会的老师们深为叹服。
对于本节课的学习，笔者也有一个小小的建议。分数概念有多种理解方式，且比较抽象，学生的学习不是一蹴而就的，需要经过一个较长过程的经历与体验，一节课的设计需要有一定的取舍，让学生留有更多的时间与空间去体验、深思。如课中呈现了两堵分数墙，一堵分数墙可以激发学生的想象，丰富学生对于分数意义的认知，学会从不同的角度观察、思考与分析问题，但墙一多却会干扰学生的思维，混淆学生的思考。有时多即是少，以少胜多未必也是致胜法宝。
课堂的结束不意味着课程的结束，对于分数的认知，通过刘松老师的深度引领，相信在场的师生们在今后的学习中会带着自己的思考，换个角度去更好地认识这一颇具难度的数学领域。
（浙江省 孙钰红）
描述性概念的“语词”无需纠缠
——赏王丽兵老师《体积与容积》有感
体积和容积是比较抽象的概念，如何帮助学生理解抽象概念，显然是本课教学的重点。那么，会背“物体所占空间的大小，叫做物体的体积”等，是不是很重要的教学成果或者说是必须的？课中，王老师似乎只让学生读过一次，更多的笔墨却花在了如何让孩子们在脑海中建立具体化的“体积”。大道至简，真水无香，却迸发出一股浓浓的数学味，很好地诠释了描述性概念的教学要关注的是学生的经历与体验。
一、精准定位——意义从“忽略”到“关注”
数学概念，本应讲究逻辑严谨，殊不知体积的概念其描述本身就不是严格定义。王老师正是因为精准定位了教材，才没有去纠缠像“空间”这样比“体积“更难理解的字眼。“忽略”了这种无需在课堂上作逻辑剖析的大白话（笔者认为，“物体所占空间的大小”与“物体所占地方的大小”是同一层意思，没有多少理性成分），“关注”的是让学生感知体积的特性。
1.相对性。即如果物体A包含物体B，那么A的体积大于B的体积。如课堂中的“咱们同学有体积吗？老师有体积吗？为什么？我们俩谁的体积大？找一找，与同桌说一说身边谁的体积比谁的体积大，谁的体积比谁的体积少？”
2.等量替换性。如课堂中“土豆与鸡蛋的体积大小能一眼看出来吗？能数出来吗？那有什么办法？”学生自然想到放到注有同样高度的水的杯子里，哪个杯子水上升得高，即体积大。
这些活动，让孩子通过观察、比较、讨论，将学习的空间还给学生，真正参与到知识的探究过程，感悟到“体积”实实在在的存在。
二、精确打击——理解从“表面”到“深刻”
学生学得精彩，来源于老师“导”的适当、适时。用顾泠元教授的话说就是“抓痒一定抓在‘痒’处，否则越抓越‘痒’，反而使人难受”。正是因为王老师恰如其分的专业引领。
1.导在学后的具体化。
我们来回顾一下王老师的教学过程：
师：今天王老师要和大家一起学习读——体积，听说过体积吗？谁来说说看，什么是体积？
学生举了桌子、椅子、黑板等说有体积，但是不能准确地说明白，
教师导：究竟什么是体积，看来大部分人都不能十分准确地说清楚。请同学们看看书本上是怎么介绍体积的？
学生自学后反馈并齐读：物体所占空间的大小叫物体的体积。
教师继续导：与刚才你想的一样吗？这句话大家理解吗？谁结合这句话说说看刚才我们说的桌子，为什么说它是有体积的？从而再让孩子通过举例、解释。概念的具体化工作、对概念的提升理解就是孩子们在互动中体会、感受的，这种“导”就能孩子真正主动地“学”。
2.导在知识的连接处。
我们来回顾王老师是怎么引导学生学习容积与体积的联系的：
师：不管是烧杯、盒子等它们有同一个名字。板书：容器。
通过刚才的学习，你们知道什么叫容积吗？刚才研究的物体中，哪些物体有容积的？（学生举例略）
教师出示纸盒。
如果老师把这个纸盒的壁不断增加，如果这么一直加下去，什么变化了，什么没有变？（体积不变，容积减少）
如果以这个纸盒为标准，老师在它外面套一个纸盒，一直这么套下去，什么变了？（体积增加，容积不变）
通过刚才的讨论，说说容积与体积有什么联系与区别？
生：体积是外面的，容积是里面的；
生：体积可能变大，容积也不变；
生：什么情况都有可能；
生：它们应该是包含关系，体积包含了容积。
精心的设计，巧妙的引导。两者之间的联系与区别学生领悟得淋漓尽致！真是让人有“四两拨千斤”的感觉！
3.导出几何的数量化。（以数解形）
继续回顾欣赏：
师：“2号纸巾与3号纸巾的体积到底谁大？”
生：不能一眼看出，把纸巾拆开我们就知道了。然后发现2号纸巾有27小包餐巾纸，3号纸巾有24包同样小包的餐巾纸，从而解决了问题。
从数量化的方向来思考，刻画物体的体积的大小是必须的！包括课堂中学生的练习，如此不仅为今后学习的体积内容打下基础，更为重要的是向学生传递了“数形结合”的数学本质，化“形”为“数”，促使学生向更高的数学方向发展。
王老师的精彩之处还有很多，比如“精心打造——素材从‘单一’到‘多元’”，素材提供的层次性十分清晰，限于篇幅不再累赘。
笔者还有一点不成熟的想法，想跟王老师探讨，体积是否还需要关注其“运动不变性”（即物体经过平移、旋转、反射运动后，所占的空间大小不会变），这样也许可能让孩子更好地来比较、体会“体”的大小，课中似乎有孩子举例的是物体“面”的大小来比较诠释体积，没有引起足够重视。
（浙江省 李加汉）
数学结构：在有趣的学习活动中自然建构
——听
“位置”的内容属于“图形与几何”领域的内容，“是应学段目标‘探索一些图形的位置关系，了解确定物体位置的方法’的要求而设计的”。《用数对确定位置》是其中一节相对比较复杂的一节内容，也是为后面进一步学习“根据方向和距离两个参数确定物体的位置”打下基础。这节内容的学习目标是：感知“列”与“行”是确定位置中的两个重要元素，能用“列”和“行”两种要素来描述某个物体的具体位置；经历学习过程，初步感知直角坐标系的思想和方法。要实现这两个目标并不难，但是如何让学生既能够切实达成学习目标，又能够学得轻松与自然，对一线教师而言，还是颇具一定的挑战性的。今天顾志能老师以趣味性的活动设计，引导学生经历“用数对确定位置”的必要性，帮助学生顺利达成学习目标的教学过程，给了我们诸多的启示。现从三个方面对顾老师的课谈一些学习体会。
一、学习活动：以趣味性的情境设计，不但激发了学生的参与积极性，同时激活了学生的思维状态
笔者曾听过许多名师执教《用数对确定位置》一课，大多是采用学生自身的座位作为主体探究材料，围绕探讨自身所处的位置设计学习活动。应该说，这样的活动设计基于学生的生活实际，能够从学生自身的经验出发，完成数学知识的建构，不失为一种比较好的活动。今天顾老师能够从“现场猜测”游戏出发组织学习活动，打破了一般的设计思路，给我们听课者带来了很不一样的感觉。
我们能够从游戏中充分地感受到，不管是“猜”的学生，还是作为“提供信息”和“评判”的学生，都有着积极地心态，很投入地完成了游戏的过程。笔者认为，这是本节课的一个重要环节。原因有二：
一是游戏的过程，紧紧围绕本节课的核心目标——确定物体的位置展开，有助于学生体会确定物体的位置所需要的信息。
二是游戏中的学生，不但作为游戏主角在推进游戏的进程，同时也作为学习者在思考游戏中与数学相关的知识要点，在相互对话中获取数学学习的活动经验。
我们说，游戏是学生学习活动的好载体，但要设计好游戏进程却是不那么容易的。顾老师的游戏设计很好地解决了“趣味性”与“思考性”的问题，不但激发了学生的参与积极性，同时也有效激活了学生的思维状态。
二、学习过程：从一维引入，有效引导学生感悟用“列”和“行”二维要素描述位置关系的必要性
一节有特点的课，其在课堂上组织学生进行学习的过程会比较有特色的。顾老师的《用数对确定位置》便是如此。细细推敲顾老师的课会发现，本节课引导学生进行学习的线索是比较清楚的，即从一维引入，通过游戏活动让学生感悟，生活中仅仅以一维的方式来描述某个物体的具体位置还是不够的，从而激发学生探究以二维的角度来确定位置。我们来看顾老师课中对这一核心环节设计的几个层次。
层次一：情境创设，回顾一维的角度描述位置。
师：白色的墙壁上爬来了一只蜘蛛。它爬到了这里，你能说出它的位置吗？
这个时候，由于蜘蛛的位置在角上，学生还是能够说明它的位置的。然后移动到中间，请学生继续说明蜘蛛的位置。当蜘蛛的位置在左下角不到一些时，学生就遇到了“说明”上的困难。这时呈现一条标明数据的线段，请学生以此来描述蜘蛛所处的位置。
此时，因为蜘蛛变成了在这条线上作位置变化，学生也自然用了相应的数据来说明它所处的位置了。
这个过程，一则能够相对比较清楚地说明蜘蛛的位置，二来也引导学生以数据来表明物体所处位置，是一种比较好的方式。
层次二：游戏活动，引导学生产生认知冲突。
这是本节课重点内容的教学环节，老师设计了一个游戏活动：请一位学生上前背对屏幕，然后移动蜘蛛的位置，请其他学生“说明”蜘蛛的位置。学生“说明”后隐去蜘蛛，然后再请这位学生在屏幕上指出刚才蜘蛛所处的位置。
蜘蛛移动后的位置学生是这样描述的：
生1：是在横向2厘米，纵向1厘米。
生2：在2的正上方。
……
那位学生指出他认为的位置后，老师问：你确定在这儿吗？你是怎么确定的？
生：我刚才听到有人说正上方1厘米。
师：如果没有这个提示，你能说出来吗？
生：不能。
师：为什么？
生：2的正上方是一条线。
……
通过本环节的交流，学生从一维角度描述物体位置产生了认知冲突后，自然需要去寻找能够更加清晰地确定某个物体位置的方法，于是在师生的共同交流中，产生了从二维角度来看物体位置的“学习成果”。
层次三：自主设计，学生对确定位置的“二维”要素进一步的认识。
师：现在要把这只蜘蛛的位置讲清楚，你觉得该怎么讲呢？
生：在墙的另一边也画上一条线，然后说成“2的上方1厘米”。
师：2的上方1厘米是什么意思呢？
生：就是说，这只蜘蛛在2这个数字的上方1厘米的地方。
师：那么，现在如果有蜘蛛飞到了你的纸上，你能在这张纸上做些什么工作，让人一看就能找到蜘蛛的位置呢？
学生自主活动——设计方格图（如图）
学生呈现的作业，虽然有着不太一样的表达，但我们还是能够清楚的看到，学生对从一维角度描述物体位置中已经自然地走到了二维描述位置关系的阶段。
三、学习结构：注重对生活问题的抽象提炼，结合练习帮助学生在生活问题探讨的基础上实现数学知识的结构化
数学学习不应该仅仅停留于生活场景，需要有“源于生活，高于生活”的内化过程。因此，从生活场景到数学模型的抽象过程，也是学生数学学习的必不可少的过程。本节课中，顾老师在组织学生进行游戏的过程中，找到了准确描述“蜘蛛位置”的同时，再次引导学生从生活场景中跳出来，走到数学理解的层面。当然，这个意图，不仅体现在主体探究活动中，也很好地体现在练习设计中，通过活动后的练习帮助学生实现知识内容的结构化。
练习一：因为如“2的上方1厘米处”，表述比较麻烦，你能想出一种简洁的方法来记录吗？此练习看似简单，实则却是对前面活动的总结提炼。从学生记录的方法可以看出，学生能够努力地去思考如何以简洁的方式表示这个具体位置，也会引发其对位置描述中“二维”要素的再思考。这个过程，其实是一个帮助学生进行模型抽象的过程，是引导学生建立“数对”与某个点存在的一一对应关系的过程。当然，也结合这个练习引出“以数对表示物体具体位置”的标准记录法。
练习二：师生共玩“五子棋”，在实际问题解决中体会数对的现实意义。此练习是巩固数对表示物体具体位置的练习，虽然情境发生了变化，但以数对表示物体位置关系的道理还是一样的。既有趣味，又能巩固知识，让学生切实体会数学知识与实际生活的紧密联系。
练习三：根据数对想象直线，体会数形结合的思想。只是由于时间不够，练习三没有充分展开。
综观顾老师的《用数对确定位置》一课，环节设计简约，材料选择有趣，过程组织活泼。内涵虽然丰富，但学生学得轻松，愉悦，是一节值得我们一线教师学习的课。
（浙江省 费岭峰）
主次分明 有舍有得
——评俞正强老师的《植树问题》
植树问题有三种类型，即“两端都种”“只种一端”，“两端都不种”。若在教学时对这三种类型平均使力，可以想见，学生们在解决问题时，非常容易把三种情况弄混淆。针对学生的苦恼与困惑，俞正强老师的处理办法是理清关系，主次分明：在“两端都种”的植树问题模型“浓墨重彩”，另外两种植树问题模型即“一端不种-1”和“两端都不种-2”。则“轻轻带过”。
我们不妨把上文的意思画成图：“两端都种”是树根，“只种一端”，“两端都不种”是枝条。主次分明，有舍有得。
这节课主线清晰，俞正强老师直接从除法的意义入手，结合学生已有的知识基础和生活经验，从除法问题拓展到植树问题。
首先让学生解决这两个问题：
随后提问:这两道题的相同点和不同点是什么？在孩子解决问题后引导孩子寻找两道题的不同之处，让孩子悟到两道题虽然都是平均分，但第一题把段数平均分，第二题种树问题是把树种在端点上，并分析点和段的关系，明确植树是种在平均分的端点上，一条线段不止一个端点，而是有两个端点，所以计算棵树时需要在段数的基础上加1——知其所以然能加深学生的认识。
有了这样的认识，接着，让孩子联系生活实际，说说：除了园林工人把树种在点上，还有什么人把什么放在点上？这个问题很巧妙地将引导学生寻找植树问题在生活的原型：“排队、种树、栽花、下棋……”老师带领学生一起思考，不管是植树问题、栽花问题、下棋问题，都是把它们放在平均分的——“点”上来解决的。生活中，这样的例子还有很多很多……
整节课主要围绕着“两端都种的植树问题”这个“母问题”进行教学，在此基础上进行延伸，拓展到两个“子问题”上。俞老师显然不是把它们看成并列关系，而是从属关系。看老师在课堂教学的时间分配上也清晰地体现这一点。
知识链比知识山重要——俞老师将一个一个的知识点按照一定的逻辑顺序组成一个系统,使之条理化、纲领化,并有序地排列在学生的认识结构中，这样经过结构化的知识储存在大脑中，在使用时很容易被提取出来。如此这般“教基本结构”“教内在联系”，非常值得我们学习借鉴。
凡事有主有次，有舍有得。
（浙江省 杨迎冬）
合理设计学习空间 聚焦数学核心素养
——张新春老师教学《数与形》赏析
数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形是数学研究的基本对象，数形结合不仅是数学的重要方法，也是学生体会数学知识之间的联系，学习从不同的角度发现和提出问题、分析和解决问题的重要途径。
对于六年级的孩子来说，计算5×5的方格中单位正方形的个数，是一件十分简单的事情。但是，要从不同的角度分析这个图形，建立不同算法之间的联系，并由此发现一些重要的结论，却是一个比较有挑战性的数学任务。张新春老师用这个简单的图形，设计了合理的学习空间，让学生经历了一次有意义的探索之旅。之所说有意义，主要体现在两个方面：一是教学的着力点聚焦于空间观念、运算能力、推理能力等，这些“课标”中重要概念，正是今天曹培英老师强调的最为重要的核心素养；二是张老师在高观点下设计教学，使学生徜徉于丰富的知识海洋里，浸润在迷人的数学文化中，他们学习的不只是数学的知识与技能，还是数。
“数学核心素养”可能会成为今后一段时间的热词，这从今年举办的数学教育研讨会的主题设计上就可以看出来。在前不久举办的“第六届中国小学数学教育峰会”上，笔者了解到，现在关于“数学核心素养”的说法有很多，这些说法并没有统一起来。对于广大的小学数学老师来说，如何在具体的教学活动中把核心素养落到实处，是最为重要的问题。张老师教学的这节课，给了我们很多的借鉴与启示。
空间观念。培养空间观念的重要途径是抽象与想象。张老师把培养学生的空间观念设计在教学的细节之中，让学生的思维在算式与图形之间来回穿梭与转换。如：“老师把算式拿走，看着这个图形，你能把算式看出来吗”，“老师把图形拿走，看着这个算式，你能把图形看出来吗”，在这里，与其说是让学生看，还不如说是让学生抽象或想象，在这样的活动中，学生可以体会到数与形联系密切，并在完成转换的过程中发展了空间观念。
运算能力。用孙晓天教授今天报告中的观点来说，运算能力主要是寻找与发现算法。面对同一个5×5的方格图，张老师引导学生从不同角度去观察，寻找合理简洁的计算方法。学生的表现超凡脱俗。如把5×5的方格分成上下两部分，上面部分为红色（5+4+3+2+1），下面部分为黄色（1+2+3+4）。学生交流的算法有：10+15，（1+5）×5÷2+（1+4）×4÷2，1+2+3+4+5+4+3+2+1，这此方法体现了学生不同的观察与思考。在交流了多样的算法之后，有学生敏感地发现“一方面是5×5，另一方面1+4是一个5，2+3是一个5，……和上面5×5是一样的”。学生在数形结合中理解了算法的意义，在“算两次”的比较中建立不同算法之间的联系，同时也学习了从不同的角度分析与解决问题。
推理能力。把5×5的方格图按“L”型一层一层地分，得到的算法是1+3+5+7+9，把这个算法加以推广，得到一般的规律是：象这样，n个数相加的和就是n2。把5×5的方格图按红白两种颜色间隔地分，斜着看得到的算法是1+2+3+4+5+4+3+2+1，把这个算法加以推广，得到另一个一般的规律是：象这样，1+2+3+…+n+…+3+2+1= n2。这两个推广的结论，其实是通过归纳推理得到的，是学生创新思维的表现。特别是，同样的图形换个角度看，产生了两种不同的算法，它们都是重要的数学结论。更为重要的是，这些算法是学生自己探索发现的，他们收获的不只是知识与结论，还有成功和愉悦的学习体验。这种美妙的情感体验延续到了“分数墙”的学习之中，课堂始终洋溢着浓浓探究发现的氛围。
最后，笔者提两个建议：一是5×5=1+3+5+7+9与5×5=1+2+3+4+5+4+3+2+1两个等式，是两个重要的数学模型，除了对这两个等式进行推广之外，还应进一步加强算法的理解，比如让学生写出与10×10，n2分别相等的等式，通过比较，进一步理解两组等式中10或n的不同含义，把最基础、最核心的知识进一步落到实处。二是对于富比尼定理及无字证明的介绍，离学生现有的知识基础还比较远，虽然只是让学生看看而已，用的时间也不多，且不作理解上的要求，但从实际的教学效果看，可以考虑“忍痛割爱”。
（浙江省 姜荣富）
学员课评
有结构的材料 有深度的体验
——王丽兵老师《体积和容积》赏析与思考
学习材料是数学课堂不可或缺的资源，是激活学生思维、激发学习热情、保障学习动力的支柱。如何选择并高效利用学习材料？是摆在我们面前的现实话题。笔者有幸近距离观摩了浙江省杭州市学军小学王丽兵老师的《体积和容积》一课，王老师精心选择、精当运用学习材料，引发学生对体积、容积有深度的体验，赢得听课专家、老师的一致赞赏。现将精彩片段摘录、赏析，与同行共享。
【精彩再现1】唤醒学生经验中的材料，初步理解体积的意义
师：（板书“体积”，生齐读。）哪里有体积？
生1：轮船有体积。
生2：长方体箱子有体积。
生3：石头有体积。
生4：所有物体有体积。
师：什么是体积？
生1：物体大小是体积。
生2：物体所占空间大小是体积。
生3：空间大小是体积。
生4：面积大小是体积。
师：请同学们看书，书上怎样介绍体积？（生安静地看书）
生：（齐读）物体所占空间的大小叫做物体的体积。
师：（板书）你怎么理解这句话？
生1：船所占空间的大小叫船的体积。
生2：长方体箱子所占的空间大小叫箱子的体积。
师：以石头为例，同桌说说什么叫体积。
生：……
【亮点解读1】
在这个教学片段中，王老师依托设计前的问卷数据：“有95.6%的学生听说过体积”、“91.3%的学生能正确地选取生活中的物体举例”，准确把握了学生学习体积的现实起点，凭借“哪里有体积？”这个直截了当的简单提问，唤醒学生已有生活经验，引出有关物体体积的生成性学习材料：轮船、长方体箱子、石头，接着通过“什么是体积？”的追问，从纯数学的角度，了解学生对体积意义的感知程度，果然，4位学生中，有3位学生能大致讲出体积的意义，在学生对体积意义的朦胧认识并急于了解“体积”的意义时，王老师不失时机地引导学生静静阅读课本，寻找答案，帮助学生对原有认知进行完善和建构，规范学生对体积意义的数学化表达，实现学习方式的转变。可贵的是，教师“你怎样理解这句话？”的提问，继续要求学生联系前面的实例，内化体积的意义。一样的材料，学生用了两次，但呈现不同的思维层次。显然，后一次“船所占空间的大小叫船的体积。……”的表达，说明学生对体积意义已经理解，运用到实物中去了。
在这个师生、生生交流过程中，呈现两个亮点：
一是学习材料来自学生已有的生活经验。教师没有采用“乌鸦喝水”、“阿基米德测皇冠”等看似经典的故事引出体积，也没有出示轮船、长方体箱子、石头等实物，而是用学生提供的熟悉的学习材料，组织了简约不简单的体积意义教学，发展学生的空间想象能力，实现了学习起点、学习材料与数学知识的无缝对接。
二是体积的意义是学生通过阅读课本获得完善的。因为课本也是教与学的重要材料或资源，新课程倡导：对于数学概念，应该避免逐字逐句的死记硬背，重在感悟和运用。王老师这样的处理，实现了这个理念的行为化。
【精彩再现2】提供有结构的材料，深度领悟体积的意义
这些例子中，谁体积大一些？为什么？
生1：船体积大一些，石头体积小一些。因为船所占空间大，石头所占空间小。
生2：不一定，因为船与石头各自的体积有大小。大石头的体积可能比小船的体积大。
师：你想得很全面。同学有体积吗？老师的体积比你的体积？
生：我的身体有体积，老师的体积比我的体积大。
师：同桌说说你周围谁的体积比谁的体积大。
生：（同桌交流后汇报）：箱子的体积比话筒的体积大。
……
师：（依次出示一组材料，先实物，后用课件出示图片：①一只长方体纸板箱，②若干小包餐巾纸包在一起，③若干小包餐巾纸包在一起，④一个土豆，⑤一个鸡蛋。）比较这些物体的体积，按从大到小排列。你是怎么比出来的？
生1：长方体纸板箱最大，两包餐巾纸差不多，土豆和鸡蛋最小。我用观察法。
师：你很善于观察思考。那么两包餐巾纸谁大？怎么比？
生2：拆开，看看有几小包。
生3：长×宽×高。
师：好方法。请两位同学上来数一数，算一算。
（生4、生5：上讲台仔细观察，发现并向全班汇报②号是3×3×3=27小包，③号是4×3×2=24小包），全班共同得出，②号餐巾纸体积比③号大。
师：土豆与鸡蛋怎么比？老师准备了一些器材，再请两位同学上来选择材料做实验。
（生6、生7：上讲台选择两只大小相同的量杯、红水，往量杯里倒大约半杯红水，两杯红水高度相同。）
师：你们有什么问题？
生8：鸡蛋是空心的吗？
生6：实心的。
生9：水位够吗？
生7：我估计能淹没土豆和鸡蛋了，够了。
（生6，生7把土豆和鸡蛋分别放入量杯。）
生（齐）：土豆体积大一些。
师：你们怎么看出来的？
生（齐）：放入土豆的量杯水位高。
【亮点解读2】
这是全课的核心。王老师继续依托前测信息（97.8%的学生能正确地比较两个物体大小的学生），贴着学生认知的现实起点，利用有结构的学习材料，有效组织了两个板块的体积大小比较活动，以此帮助学生深刻体验物体“所占空间大小”的实际含义。第一个板块是用课始的船、石头、纸箱以及学生现场可见的师生体积比较大小，学生果然顺利地得出结果。第二个板块是教师提供长方体纸箱、餐巾纸等5种简单的实物，并用课件出示图片，要求学生“把这些物体的体积，按从大到小排列。”学生自主选择教师提供的学习材料，用眼观察、动手实验，用观察法、计数法、水测法，使学生对于体积的理解更加全面、立体；活动过程中，教师又是一个简单的提问：“你们有什么问题？”引起学生“鸡蛋是空心的吗？”、“水位够吗？”的质疑，诱发了生生对话，培养了学生严谨求实的科学态度。回味这个片段，笔者看到：用到的学习材料具有层次性，即有结构的材料，推动着学生思维层层提升。首先，重复利用第一个片段中学生口述的生成性材料比较物体的体积大小。其次，用学生现场可见的生成性材料（师生身体、话筒）比较。最后，教师提供五种预设性实验材料，当两包餐巾纸、土豆与鸡蛋体积接近，不能用观察法比较大小时，“逼”着学生用不同的实验法——“计数法、水测法”比较。在认知冲突、动手实验、质疑对话、表述结果的过程中，推动学生的数学思维能力拾级而上，感悟转化思想，积累基本活动经验。
【精彩再现3】适度增加材料，顺逆演示，体验体积和容积的异同
（教学容积的意义后）
师：老师做一个实验，请同学们观察、思考，什么变了？什么没变？
（师出示前面用过的长方体纸箱，贴着纸箱内壁，依次再放入两只较小的纸箱。）
生：容积变小，体积不变。
师：请继续观察、思考。（把上面三只纸箱分开，先出示最小的一只纸箱，再贴着这只纸箱外壁，依次套上两只较大的纸箱。）
生：容积不变，体积变大。
师：体积和容积有什么关系？
生1：物体所能容纳物体的体积叫容积。
生2：容积是特殊的体积。
生3：体积永远比体积大。
生4：要同一物体，才能这么说。
生5：体积什么东西都有，容积不一定有。
生6：一张纸有体积，没容积。
生7：体积从外面看，容积从里面看。
【亮点解读3】
体积与容积的联系与区别，是本课教学的难点。为了突破这个难点，王老师又一次利用前面用过的长方体纸箱，并增加两个纸箱，往里放、往外套纸箱，两次演示实验，分别让学生观察思考“什么变了？什么没变？”，学生很直观地得出了结论，七位学生的发言一个比一个有深度，教学难点也就迎刃而解。这样循环利用材料进行正反演示，借助问题思考、物体观察、空间想象、类比推理等，容易让学生明白体积与容积的异同，帮助学生发现有些物体有体积没有容积，有些物体既有体积也有容积，一波三折，逐层递进，从“表面”到“深刻”，实现体积容积意义的切身体验和深度理解，把直观教学法运用到较高境界，有效地推动学生的数学思维能力、表达能力的发展。
王老师的课堂，直观地示范着：在小学数学教学中，如能精心选择、充分利用有结构的学习材料，拓展学习视角，将会引领学生深度体验数学知识，提升思维活性和学习效度，让我们的数学课堂充满灵性、洋溢着智慧。
（浙江省 徐黎明）
体积容积大道理
大家知道什么是体积吗？什么是容积吗？也许很多人会说，这还不简单，不就是……是什么呢？也许就会语塞了，生活中很多东西，往往是可以意会但却很难说清楚，而今天来自杭州市学军小学帅气的王丽兵老师则给我们演戏了一场具有生命力的新常态数学课。
王老师的《容积与体积》是一节具体概念的数学课。这种具体概念是我们生活中很长见的概念，但是却很难说清楚它具体是什么意思。而王老师很巧妙的避开了，不纠缠于课本中的概念不放，而是重在让学生感受和体验什么是体积，什么是容积。他先让学生说说自己心目中的容积概念，然后再让学生看教材，再比较容积的大小，最后讲容积，容积与体积的比较。放下那些晦涩的文字游戏，而是充分的让孩子参与其中，充分的体现了“新常态课堂”是生本的课堂，它更加注重孩子的学习经验和能力基础，简约而又纯粹。
其次，王老师的课，特别注重概念教学中同化与顺应的方式，特别是在开始时，让学生根据已有的生活经验充分的说自己心中的体积，然后让学生自己看教材中体积的概念，通过这种说与看的知识同化，充分提高了的学生认识能力和自主建构能力。这也正好突出了“新常态课堂”是思想深刻的课堂，既能关注孩子数学思维的形成，促进孩子能力的提升，又能使师生互都在这里获得成功的喜悦。
同时，王老师的课，充分的体验了数学课堂中“显与隐”的关系，在五个物体比较大小时，有些东西的大小是一眼就可以看出来的，是显性的，而有些东西是无法直接判断需要考证的。运用“观察法”他先让孩子模糊的比较，一眼挑出可以直接判断的最大物体，可是那些不能判断的怎么办呢？就需要孩子们动脑筋想办法、找工具，为后面学生通过“数一数，测量”等方法来判断物体的大小做了充分的铺垫，著名教育家奥苏泊尔有意义学习理论说过“只有孩子亲身经历过的事情，他才会印象深刻”。这节课上，王老师为孩子们留足了体验的空间，孩子们想办法、做实验等等充分的经历了知识的形成与发展过程，让我感受到 “新常态课堂”是自主生长的课堂，既有教师预设的精心思考，也有师生互动的精彩生成，促进孩子能力的提升，方法灵活多元，数学活动体验丰富。
王老师的《体积与容积》这节课不仅仅是授课，更是在讲一个大道理和传递一种新的教育理念，“新常态课堂”是生本的，生长的，同时又是深刻的课堂！
（湖北省 黄丽莉）
获奖信息
质疑问难奖
湖南省长沙市芙蓉区育才第三小学 张丽娜
湖北省武汉市光谷第二小学 郑丽
河南省郑州市二七区佛岗小学 王彦敏
湖北省武汉市光谷第一小学 柯昌艳
精彩短信奖
山西大学附属子弟小学 杨宇霞
山西大学附属子弟小学 张金花
学员课评奖
浙江省绍兴市上虞区小越镇中心小学 徐黎明
湖北省武汉市东湖新技术开发区吴泗小学 黄丽莉
幸运奖
江苏省徐州市雎宁县城西小学成侯校区 黄玉
浙江省台州市仙居县安洲街道下园村时代学校 周微微
金点子奖
河南省洛阳市涧西区英语学校 莫妍
以上老师将获得本次观摩会相应光盘
