4月15日互动专刊

专家课评

基于经验 学会思考

——听徐长青老师教学五年级《分数的意义》有感

教学中应关注基本活动经验的积累已成为教师们的普遍共识，大家充分认识到它的重要性，并在课堂中积极思考实践。对于“基本活动经验”这一概念，尽管各家说法不一，但它的内涵可以达成这样的认识：学习主体通过亲身经历数学学习的过程，逐步积累形成的个性化的想问题、做事情的思维方式。如何更好地关注基本活动经验的积累？笔者结合徐长青老师执教的五年级《分数的意义》一课，谈谈自己的思考。

一、基于已有认知起点，关注经验有效对接，积累认知经验

新知的教学需要关注学生已有的认知起点，去进行有效的改造、唤醒与激发。找准教学生长点的教学是有效的，能引领学生积极思考与投入。
    徐老师在本节课选用8张扑克牌导入新课，将8张扑克牌平均分给两人，每人几张？算式怎么列？2张、1张平均分给两人，又可以得到怎样的结果，在此基础上引出二分之一。而后将8张扑克牌画上一个圈，看成一个整体，这个整体就是单位“1”。再将“1” 平均分成2份后，其中的一份也可以看成二分之一。

从算式到分数、从具体的数到抽象的单位“1”，教师很自然地沟通了新旧知之间的联系。在此过程中教师将三年级与五年级的分数意义进行了统整，都是将“1”平均分成若干份，这样的一份或几份可以用分数表示。

如何让学生理解分数既可以表示关系，也可以表示具体的数量，徐老师也做得很巧妙。从一条1米长的线段平均分来找分数，很自然地引出其中1份是二分之，那么它的长度就是二分之一米。教学难点在新旧经验的衔接中自然突破。

在本节课的教学中，教师基于以往的学习经验，将教学的重难点进行了有效对接，较好地架构起了关于分数的基本认知体系。良好的认知体系对于学生有效经验的积累是必要的。

问题探讨：能否适当拔高学习起高，主动构建起对于分数的有效认知

三年级修订后的人教版教材《分数的认识》这一内容与旧教材相比加入了“分数的简单应用”这一内容，学生已能将多个数量平均分后用分数来进行表示。他们的学习起点是较高的。

再学五年级的《分数的意义》，是否可以站在学生较高起点的基础上，来进行引导与主动建构。如可出示分数，教师引语：我们在三年级的时候已经学过分数，你能自己画图来表示它的意义吗？相信学生定能用丰富多样的方式来表示二分之一的意义，而教师需要做的就是根据学生的作品来引导整理与沟通。如此的经验衔接由学生主动生发与碰撞，相信他们在多样的碰撞中会有更多的感悟。基于碰撞形成的经验更能引起学生的共鸣。

二、有效设计学习材料，深刻挖掘，积累认知经验

好的学习材料能有效地引导学生进行学习，自主、深度地理解学习内容的意义，并在此过程中提升学生的良好思维能力，有助于他们积累思考经验。

本节课的学习中徐老师主要呈现了两个学习素材，很好地设计并运用这些材料，引导学生在学习过程中理解什么是单位“1”及其变化等教学重难点。我们再来回顾与学习徐老师材料运用上的独到之处。

材料一：8张扑克

8张扑克牌从表示具体的数量到表示单位“1”，进而将8张扑克牌翻过来根据不同的花色来说分数，前后共使用了三次，每一次的运用都是一次有效的认知提升。

材料二：一条线段

一条线段是数，也可以表示具体的量，于是分数既可以表示关系，它也可以表示一个具体的数。通过一条线段实现了分数从相对性到表示绝对数值的转变，简单却深刻。

课中学习材料设计的独具匠心还不止此，如最后的练习中，教师拿出两张破损的纸片，其中分子、分母分别缺失。在表示这两个分数的分数单位的过程中，学生对分数有了更多的感悟。

通过这些简约而巧妙的学习材料，徐老师不断引领学生对分数建构起新的认知。

问题探讨：

1．如何基于教学重难点来设计材料？

本节课在教学过程中教师较多地选择一个物体来进行意义教学。前面笔者已述学生对于本节课内容已有较高的认知起点，基于这样的学情以及把握本节课的教学重难点，笔者认为学习材料提供上需要有更多的把一些物体看作单位“1”的材料的介入，并有意识地根据学生学习的困惑与困难点来有效整合材料组织教学。

2．如何进行不同材料间的比较来深入理解分数意义？

本节课中出示的学习材料是单独使用的。有时不同材料之间的联系与区别更能促进学生对分数意义的领悟。如就分数的相对性而言，需要在不同的材料之间去挖掘共同点，明晰同一个分数，由于单位“1”的不同，因此它所代表的具体数量也会不同等内涵。

三、亲历体验学习过程，积累思考经验

数学活动经验是学生在经历数学活动过程中获得的对于数学的体验和认知。亲身经历数学学习活动的过程是学生积累基本活动经验的前提。史宁中教授曾指出“一个人会想问题绝对不是老师教的，是他自己悟的。”如何悟到，很显然，需要在经历过程中悟。这就必须要教师努力去设计优质的学习过程，从中引导学生不断反思，在过程中促进学生发展，积累并提升经验。

本节课的教学，徐老师较好地关注了学生悟的过程，并在此过程中重视学生思考问题的策略，引导学生有效积累思考问题的经验。如怎样找，教师根据学生思考的方法说明可以先找到十分之二，继而快速找较大的分数。再如让学生说分数单位，在学生怎么说也说不完的时候，教师引导：怎样说可以把它都包含进去？教学中就这样细物润无声地引导学生如何在遇到问题时寻找有效的解决问题的办法，学会思考就是这样逐渐形成的，徐老师的课堂给我们作出了良好的示范。

问题探讨：

1．如何充分理解核心点的意义，来经历过程有效感悟？

本节课的核心点主要有单位“1”的认识、分数单位的认识等。这些核心点如何有效理解？如果学生仅是知道一个分数中包含了几个这样的分数单位，那么他的思维是浅层次的。需要我们在充分理解这些核心点意义的基础上来引导学生自主经历，感悟到深层次的意义。如分数单位的意义，有了分数单位人们便能表示出更多的分数，也就能很好地进行有效地度量。分数单位的重要性需要在解决实际问题中自然呈现出来。可否设计如“在1米（米）长的线段下画一条比它长米的线段，让学生说说这条线段有多长”这样的环节，类似的环节可以让学生感悟到分数单位的重要性。2．如何呈现更为广阔的学习空间，让学生充分地体验感悟？

经历与体验显然需要有空间与时间的保证，这就需要教师设计开放而有层次的问题情境，让学生自主参与、合作交流。在此过程中也才可能有多样的学习呈现，才会有个性化经验的形成，才能促进碰撞的发生。而深层次的思考一定需要有碰撞这一因子介入。

现行的课堂必定是需要关注基本活动经验的课堂，在此过程中引导学生构建起良好的认知结构，在经历体验与感悟的过程中慢慢地学会思考，学会做事。今天徐老师的课堂已为我们做了较好的示范与引领。当然关注基本活动经验积累的课堂不仅笔者上述的几个要点，创建人文课堂、形成良好的课程意识等均是关键，笔者在这里不再赘述。

（浙江  孙钰红）

 

彰显优势特色   面临优化挑战

——对《分数的意义》课堂教学的赏析与反思

徐长青老师执教的《分数的意义》课堂，再一次向我们展示了他的教学艺术。在赏析的同时，也触发了我们优化视角的深入思考。

 一、优势特色赏析

优势反映长处，体现了课堂教学整体的某一方面的高水平；特色反映个性，体现了个体对自己优势条件的运用。下面用这种视角来赏析徐老师的课堂。

1、课程内容理解深刻，很好地处理了与三年级学习内容的衔接

本节课程内容明显地承担着承上启下的作用，本节课中可以明显地看到三年级分数和五年级分数学习要求的不同水平，这反映了徐老师对课程内容的深刻理解。三年级只是要求学生初步认识分数，而五年级则要求较为深入地理解分数概念。与三年级相比，最大的差别在于五年级要求：区分整体“1”和单位“1”，深入理解分数认识的整体部分关系的情境意义，并逐步向其他数学情境拓展，明确给出分数单位的概念。课堂教学中，徐老师通过他的独特教学艺术魅力和追问借助师生互动引导学生关注这些区别，不断引导学生深入思考，从而加深对分数的理解，逐步达到五年级分数的理解水平。在组织学生关注整体“1”时，引导学生圈起来加深理解；通过借助扑克牌纸片和分割线段以及长度单位进制产生分数，引导学生深入理解分数的概念，特别是沟通了“8\8”就是整体“1”，自然引出了分数单位的概念。

2、个人教学魅力充分彰显， 有力地促进了学生的课堂参与

徐老师的个人教学魅力在本节课中也得到了充分的展示，文字的阐述永远赶不上大家现场的体验，我们只能用“激情四射，热情迸发”这样的语词来表达我们的现场感受。徐老师的语言魅力、幽默动作和巧妙追问是这些魅力的重要组成部分，学生在徐老师创设的这种学习情境中，积极思考。同时，徐老师用商量的口吻规范学生的语言表达和学习行为表现更加证实了这种魅力促进学生学习和发展的作用和效果明显。

3、两类情境有效创设，各自发挥独特作用

对徐老师课堂的仔细观摩与思考，我们可以区分出两类情境：教学情境和数学情境。两类情境各自发挥着独特作用，促进学生对分数意义的学习：教学情境促进思考；数学情境加深理解。

在课堂上教学情境主要表现在如下三个方面：一是模拟学生思考，如“哦，无论是几分之一还是几分之几，都是从几分之一开始的”；二是设置了仅有分子或分母已知的情境，不仅突出了分子或分母，还有利于培养学生思维广阔性品质和落实数学思考问题全面性严密性的要求；三是设置了挑战“6/5”表示什么的情境，这不仅进一步加深了学生单位“1”的理解，还扩展了分数概念内涵的理解。

对于数学情境来讲，这里主要是指涉及到了数学上分数意义的两个情境：整体部分关系意义和测量意义。前者学生较易理解，因为它可以被他们已有的整数概念所同化；但是后者则不然，如果要理解用数线来表征的分数测量意义，必须对给定的测量单位同时进行分割、重复和整合。对分数测量意义的理解意味着必须把分数理解为一个数，它是连续的，可无限分割的。这节课作为分数学习的过渡阶段，徐老师用测量单位加以过渡，巧妙地处理了这个问题。有研究表明，除了上述两种数学意义情境外，还有如下三种：分数表示被除数和除数的关系、表示部分和部分之间的比例关系、表示一种特定的与整数运算不同的运算。

4、课堂生成的教学处理自然，利于增长学生智慧

这里主要提到两个方面：将错就错和和敏感的细节观察。前者主要出现了两次：一次是课前的让学生审题“数学”的定义，屏幕上没有了文字呈现，徐老师的引导，“没了就对了，要放在脑子里”；另一是一位同学两次回答同一个问题，徐老师作为另一同学表扬时，有同学告知是同一位同学，徐老师的反馈是，“说明学会东西并不难”。后者敏感的细节观察主要是让学生上台写分数的时候没有直接数所取的份数，而是数剩下的份数。这属于解决问题策略的范畴，徐老师敏感地抓到了这一点。在课堂上教师及时捕捉课堂的生成，不仅展现了徐老师的教学机智，而且更重要的是给学生创造了学习智慧的机会。

二、优化视角面临的挑战

“课堂永远是带有遗憾的艺术”指引着我们向课堂教学优化方向思考，这也是深入研究和学习新常态课堂的需要。

1、在本节概念的学习中，还可以进一步强化分数概念中各要素的联系与区别，进一步突出概念结构体系

在数学概念学习中，概念系统结构化是重要的加工目标，其中渗透着辨别概念中联系和区别的重要环节。徐老师的课堂上在这方面还可以有很大的提升空间。本节课对分数概念的学习，涉及到分数概念建立的五个方面：整体“1”、平均分、单位“1”、整体和部分的关系、分数单位。徐老师的课堂上，对这些概念都用活动的方式促进学生的理解，其中对“同异”辨别追问的环节不足，对四个分数概念要素（整体“1”、平均分、整体与部分关系、分数单位）之间整体关系的突出与强调不足，其实还可以加以精心组织和分层次呈现（比如课件）以帮助学生建构各概念的关系，从而整体上更为深刻理解分数的概念。

2、在本节课堂素材选择方面，还可以进一步压缩，精选素材，以解决课堂满、学生独立思考机会不足等问题

观摩本节课，大家在惊叹徐老师课堂的教学魅力时，我们也在思考：整节课下来师生是否轻松？事实上，徐老师的这次课堂显得非常满，课堂超时，有些环节匆忙，环节之间的衔接还可以再优化。这些问题是需要我们在建设新常态课堂之路上必须考虑的问题。一个值得考虑的建议是在限量限时的要求下，找到主线索，给学生以更多独立思考的机会，给学生以提出问题的机会。

3、值得商榷的两个小环节：数学文化阅读与无限量的可不可分问题

在课堂上，徐老师在处理到分数的产生时，呈现了算筹的“数学文化阅读”幻灯片。首先我们肯定是必要的，因为这是学生了解分数产生和进行传统文化渗透的需要。但是，何时呈现和这里的呈现方式以及呈现的功能定位是一个值得思考的问题。

另一个值得商榷的小环节是，徐老师在提出“还有哪些可以看作整体”的时候，指出当这个整体大到无限大以及小到无限小时就不能分了，这个问题的结论值得商榷，主要是看用何种方式方法去衡量然后再分。比如对一固定线段，如果按长度来度量，它是有限长度，可以进行分；但如果考虑这一线段上面点的数目时，它就是无限的，但是我们可以对这些无限的点进行分，从而产生分数。虽然这样的环节当时对学生当前学习没多大影响，但是对学生将来学习比如高中学习概率的古典概型等课程内容时可能会产生误导。

（山东  郑庆全）

 

“经验”是“知识”生长的土壤

——俞正强老师《分数的初步认识》一课有感

话少，干净，有合适的笑容，有温暖的手，有洞悉但纯净的眼神，在这样一位男人面前，你或许会心虚，但你会喜欢。

即使，已经是十几年的老友，即使，近些年来，他越发显得谦和、沉静、温暖。

这是准备写散文的节奏吗？为什么动笔之时，没有了以往写评论的理性与犀利，而是满满的感动？是被课堂、会场的气氛感染的原因吗？

但，终究是要切入正题的。那就从下面的一段对话开始吧：

p：你最想通过《分数的初步认识》这节课传递给老师们的是什么？

y：这节课主要想回答两个问题。一、为什么要用分数？二、分数是用来干什么的？为什么要用分数？分数是用来“表示”的，这是“结果”。分数是用来干什么的？分数是用来记录的，这是“过程”。

p：怎么解释？

y：“把一个物体平均分成两份，拿其中的一份”，这是学生本来就有的，不用“教”的，我们要做的，是让学生将这个过程，用数学的方式记录为“”，将“分的过程”与分数的表示与理解建立联系。

p：你觉得与别的老师上这节课相比，你的课最大的区别是什么？

y：原来，老师总是先教“”，然后让学生使劲记住：表示“把一个物体平均分成两份，表示这样的一份”，我做的，就是倒过来，从学生已有的开始，将学生已经知道的，用数学的方式记录下来。

……     与孩子们击掌道别之后，我与老俞短短几分钟的对话，言简意赅，直击要害。

接下来，我再从旁观者的角度略谈感受一二：

一、概念本质如何理解？

“分数初步认识”是概念教学，而概念是事物本质的反映，是对一类事物的概括和表

征。如何帮助学生理解概念“本质”，学会概念“表征”，俞老师的做法有哪些？

1.从“1”的“累”到“1”的“分”。

从“2个月饼”、“1个月饼”，到“半个月饼”、“小半个月饼”、“小小半个月饼”，

让学生经历从计数单位“1”的累到“1”的分的过程，笔者以为，有两层目的：（1）感受用分数表达的必要性。不能用自然数1、2、3表示了，要用一个新的数，分数学习的必要性随即产生。（2）将分数纳入概念系统。“分数也是一个数，分数也象已经学习的自然数一样，是表示物体的‘多’和‘少’的数”。在不断用“数”表示的过程中，为学生形成概念系统作了很好蕴伏。

2.“分的过程”与“意义理解”紧密结合。

“这半个是怎么来的？”—— “把一个饼切成两半，拿其中的一块，就得到了半个”，

“这么长的话，用数学记录下来：平均分——用“—”表示，两块——用“2”表示，其中一块——用“1”表示，连起来，用“1/2”表示。“1/3”的学习过程同样，这一过程的展开，将学生已有分饼的经验与过程，与分数的意义与表征，以及分母、分子、分数线的含义，建立紧密联系。意义有了分的经验作支撑、分的过程做表象，理解也就十分透彻与到位了。

3.寻找“不同”中的“相同”。

数概念形成，需要经历概念抽象的过程，而概念抽象，仅依赖单一材料一定是不够的，

俞老师所采用的步骤与策略是：“多材料感知”——“比较、抽象、概括”——“揭示概念”。

概念初建时，我们看到“半个，你是怎么得来的”、“小半个是怎么得来的？”、“小小半个你能用几分之几表示”，至此，才引导概括：“你有什么感觉”？学生答：“都是分成几块，分母就是几，拿几块，分子就是几”、“都是……”。分数的意义（包括分母、分子的含义）教师并不急于揭示，而是在让学生通过大量同类材料的感知之后，再比较、提炼、概括，此时，标志着分数的概念已经初步建立。

巩固环节时，四幅形状不同的长方形图，用分数表示，“为什么都是”？“都是把长方形平均分成4份，分母都是4，涂色部分都是一份，分子都是1”，“”概念本质，通过对不同材料的比较，理解十分到位。

一、学生经验如何利用？

1.选择合适起点

 “对于小学生来说，一次完整的课堂学习可以描述为学生从他的认知起点，到课堂学

习目标之间的认知发展过程。就这一过程而言，在学习目标既定的情况下，起点的选择决定着这一过程的距离长短。因此，在教师选择认知起点的时候，学生课堂学习的距离空间便被设置了”。

“这是几个饼”？——“半个”、“小半个”、“小小半个”，这是学生的生活经验。

“半个是怎么来的”——“把一个饼切成两半”、“两半是两块一样多”、“把一个饼切成两半，拿其中的一块，就得到了半个。”这是学生的生活经验。

俞老师正是找到了“分数”与学生“经验”之间的最佳契合点，大大缩短了起点与目标之间的距离，于是“数学”与“经验”无缝对接，自然生长，水到渠成。

2.善用童言童智

当“学生立场”不再停留于理念，而是真实发生的时候，课堂也就会呈现出无比轻松、无比安全的状态，师生之间互动彼此融合、渐趋整体。折射出的，是俞老师对孩子的喜爱、尊重、接纳与了解。

让我们回放其中一段对话——“两块”与“两半”

师：“半个是怎么来的”？

生：“就是把一个饼切成两块”

生：“就是把一个饼切成两半”

师：“为什么不说切成两块，而要说切成两半？”

生：“两块有可能不一样，一块大一块小，而两半就是两块一样多。”

师：“这种分法以前叫什么？”

生：“平均分。”

师：“半个容易得到吗？哪里不容易？”

生：“就是要分得一样多。”

从“两块”到“两半”，衔接的是“经验”与“科学”之间的距离，俞老师正是捕捉了最为原生态的儿童语言，进行点拨、整理、提升，将经验生长为概念的理解，将数学知识根植于学生的经验之中，很好突破了分数概念中的“平均分”要点。

而这样的对话，俯拾即是，贯穿始终！ 分析原因，教师善于倾听与捕捉，当然是关键，其次，教师自己用孩子们的语言交流也十分重要！俞老师的经验是：与你的学生成为“同伴”！

（浙江  潘红娟）

 

寻找联系  揭示关系  深化理解

——俞正强老师《分数的初步认识》学习体会

俞正强老师以其真正以学生为主体的教学理念，真实、朴实、简约而精致的教学设计，从容、细腻、风趣幽默、循循善诱的教学风格，与我们分享了一个轻松愉悦，自然清新的课堂。俞老师基于自己对《分数的初步认识》这一知识的理解和对学生的解读，在教学过程中着力寻找新知与学生已有知识及生活经验的联系，着力揭示分数与整数、小数的联系及与生活的联系，把握概念教学的要领，使学生较清晰地了解了分数产生的过程、学习分数的必要性，并对分数的意义有了初步理解。

目标建立，彰显理念。俞老师不仅对认识分数的知识目标清晰明确，而且对技能目标定位精细，要求学生体验非整物数量用分数来表示，并进行恰当的解释，且在教学过程中自始至终紧紧围绕这一目标。这样既关注知识目标，又关注能力与过程目标，彰显了新课标的教学理念。

联系生活，感知必要。由整数到分数，是学生学习历程中的一次重要拓展，因为这是关于数系扩展理论对学生有限认知的挑战，如何使学生很好地理解呢？俞老师从学生的生活经验出发，深入浅出进行讲解：生活中常见的2个饼，1个饼，半个饼，小小半个饼，在数学上如何表示呢？用2，1等够吗？不够，“今天来学一样新的东西，用哪个数来表示。”从而使学生联系自己非常熟悉的生活经验，深刻地感知了分数产生的背景及学习分数的意义，既增强了学生学习的动力，同时，也使学生对分数与整数的联系以及发展有了一定的感悟。 其中有意识的组织的一些通俗的、生活化的语言，如半块，小半块，小小半块；怎样得来的；记录等都来自生活，与生活密切相关，也为帮助学生理解相关内容起到了很好的作用。

层层递进，提示本质。老师首先由是怎么来的？引导学生理解分数的核心问题——平均分；接着学习分数的书写形式及其与意义的联系；再引导学生理解一个饼（即一个物体）可以分成不同的份数，分数与所分份数的联系；分的份数确定后，也要以取不同的份数，分数与所取的份数也有联系等，这些环节的设计，一一指向了分数意义的本质，且层层递进，深入浅出，有助于学生从逻辑联系的角度理解角度加强理解，从而不仅使学生习得了知识，更促进了学生逻辑思维能力的发展，充分体现了数学学习的价值。

丰富策略，深化理解。为使学生初步掌握分数的意义并深化对此的理解，老师有意识地采用了一些较为新颖的教学策略，为课堂增色不少。如“倒置”的教学策略：关于《分数初步认识》的教学设计，平常我们看到的多为从将一张长方形纸（等一个物体）折一折，分一分开始，即由“分”到分数，这一教学过程是由活动到分数再切入意义，而俞老师则由分的结果“半块饼是怎么来的？”切入，学生没有经历分的过程，而基于对学生生活经验的判断，一定能得出需要“平均分”，这样引导学生经历的不是分的过程，而是推理想象的过程，交流分享的过程，因而更利于学生关注问题的核心——平均分，更有助于学生的理解，同时也促进了学生的发展。再如“比较”的教学策略：关于比较的教学策略，我们比较熟悉，而俞老师有自己独特的设计，为促进学生理解，在有限的练习题设计中，将一张长方形纸按3种不同的方式分，都取一份，先比较相同分数中分母、分子与分的关系，由于都平均分成4份，且都取1份，通过比较，学生容易概括出分数与“分”的关系，再比较不同“分”法与结果表达相同的关系，在加深学生理解的同时，自然地渗透了数形结合的思想。

在“千课万人”上展示课，很大程度上是为听课老师服务的。在教学过程中涉及的“半块饼用0.5表示，小小半块饼用0.4等表示”的讨论，对学生来说，可能无需深入，因为理解有一定难度，但为给听课老师以启示，也可稍作深入：半个饼可以用0.5表示，小小半个饼用0.4表示科学准确吗？这就是关于数扩张的问题；同时，半块饼可以用0.5表示，也可以用1/2表示，这既是数扩张的问题又是途径多样化的问题。这样青年老师就可以从中习得算术理论的启示，又可以受到哲学思想的熏陶！

 （江西  胡桃根）

 

改变角度   另辟蹊径

——李培芳老师《圆的认识》教学赏析

改变角度，另辟蹊径。包含两层意思：一方面，学生学习圆这个图形，相对小学阶段前五年所学的直线图形，有很大的不同。研究直线图形都是着眼边和角的特点，而圆，显然不能依照过往的经验，学生需要另辟蹊径。另一方面，圆的认识，属于特别经典的教学内容，在大大小小的、不同层级的赛课会及观摩活动中，一次次的被深入研究与精彩演绎。记得同是“千课万人”的活动，某个半天就集中推出4节“圆的认识”，有的以“画圆”作为主导线索，贯穿课堂；有的以小组合作的方式，通过画一画、折一折、量一量等活动研究圆的特征；有的通过想象“到一个定点的距离相等的所有点组成的图形”，构建圆的概念……。今天，李培芳老师教学“圆的认识”，通过比较圆与正多边形的比较与思考，理解本质特征“一中同长”，又是一种创意，也可谓是“另辟蹊径”！
    李老师追溯了人类对圆认识的漫长过程，李老师分析了孩子们学习圆的困难所在，李老师关注到几何教学发展思维的价值，于是，才有了今天的探索之旅。对于李老师躬身研究、勇于创新、大胆尝试的精神，我已深深折服。下面略举几处教学创意，与大家分享。

一、通过比较与想象，理解“一中同长”

圆的本质特征是“一中同长”。一个没有任何标记的圆，学生看到的只是一条曲线，所谓“圆心、半径”并非固有、外显的存在，学生看不见，当然，就更谈不上“半径都相等”的特点了。李老师的教学策略是比较与想象。

1.比较椭圆、近似圆、圆，唤醒关于圆的认识经验。

先出现第一个图形——椭圆，凭着直观认识，学生马上否定。

出现第二个图形，所有学生都认为圆，老师提出：其实它不是圆，如果给你一把尺子，你能用数据表示它不是圆吗？学生通过测量横向、纵向最长的线段，发现有差异，说明不是圆。此时，学生是凭着最朴素的直观经验，虽不能说出缘由，但其实已经蕴含直径相等的意思了。

随着讨论是不是圆，孩子心中必然有了他自己所理解的圆。

2.比较圆与正多边形，体会“一中同长”。

呈现多个图形，有圆形、三角形、长方形、正方形、椭圆，聚焦“圆与其它图形最大不同是什么”这一问题，意料之中，学生纷纷回答“没有顶点”“没有角”“没有直直边”“对折都一样”等等。不急，李老师这样引导：

圆对着其他图形说“我没有角”，椭圆会说：我也没角。

圆对着其他图形说“我没有顶点”，椭圆会说：我也没顶点。

……

    借此，让学生感受到这些并不是圆的最大特点。

然后李老师提出，圆有一个中心点，中心点到边上的长度都相等。其它图形会怎么想呢？

通过课件，结合想象，从等边三角形到正方形、正八边形、正十六边形……，发现他们也有中心点，但到边上的长度不是全部相等。

从而，明白圆最大的特点：一中同长。

我特别欣赏想象的环节，让学生真切感受到其他图形“中心到边上的长度总有些不一样长”，如果也要一样长，就会顶到图形外面，就会形成一个更多边的图形，一次一次想象，越来越接近圆，中心到边上的长度相等的线越来越多。既深刻理解“同长”的特点，又为发现“半径有无数条”积累经验。

一点思考：在上述的探索过程中，总觉得学生跟不上，有点累，时不时需要老师出手拉一把，如“圆有中心点，中心点到边上长度一样”均由老师自己提出，学生几乎没有往这个方向思考的趋向。如果在前面能有“观察甩出来的圆”（原来教学设计中有）“把三角形、正方形、八边形、十六边形改画成圆”等活动，以丰富学生的活动经验，或许能自主发现“一中同长”。

二、通过推理证明，理解“圆内线段直径最长”

对于“圆内线段直径最长”，在以往的课堂中，大都是通过画出圆内不同的线段，再通过量一量，发现直径是最长的。而李老师在学生提出“直径最长”，还追问“为什么？能不能想办法说明？”此教学行为，反映了李老师对几何推理的关照，对中小数学学习衔接的关注。

推理能力要求学生能寻找证据、给出证明，能清晰、有条理的表达思考过程，几何推理论证是几何学习的重要内容，而我们当下的小学生在这方面极其薄弱，需要在不同领域、不同年段教学中予以关注。

李老师在课堂中，给学生创设了推理论证的空间。当学生用“直径顶着两端”用平移下来比一比等方法说明直径最长，再无他法之时，课件出现：

 

引导学生推理：在三角形中，两条边之和大于第三边，两条边都是半径，它们的和就等于直径的长度，所以直径比其它线要长。

一点思考：李老师在引导学生推理时，显得比较仓促，只说明“在三角形中，两条边之和大于第三边”，而弱化了直径和两条半径的关系，可能有一部分学生不清晰推理过程。如果在课件展示后，能让学生同桌互相说说推理过程，也许能更好的体会“不能凭眼睛观察，还需要有理有据的证明”（李老师小结语）的深意了。

三、通过解决问题，深化“一中同长”

课堂最后环节，呈现系列化的两个问题：（1）海底有暗礁需要爆破，信息1：危险半径3千米；信息2：爆破中心在B点。请画出危险区域；（2）一艘轮船距离A点6.5千米，这艘船有危险吗？ 通过生活实际问题解决，学生进一步明确“圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小”。另外，在确定危险区域及分析轮船是否安全时，都是对“一中同长”的灵活应用，促进认知的内化。

一点思考：李老师创设的问题情境具有现实性，问题性、挑战性，能激发学生的思考，实属好材料。解决第二个问题，反馈时发现，绝大部分学生都没有画出相应的圆，只是找到某个点。李老师只是请了一个孩子说明理由，快速呈现课件中的圆就过了。能不能请多个孩子汇报，你找到轮船所在的位置，并且标注出距A点6.5米的线段，随着一个一个的点，一条一条的半径，会不会有更多的学生想到“圆”，能不能有助于学生理解“同一平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，就是圆”呢？

（浙江  田小勤）

 

在思考中行走的数学课

——听李培芳老师《圆的认识》有感

圆的认识？多么经典的教学内容，多少经典的教学设计，多少精彩的名师版本。而李培芳老师，他还能上出什么道道来？我带着如此的“小人”心理聆听了这节课，听完后却不免肃然起敬：这是一节在思考中行走的数学课。这节课，从思考中开始，带着思考结束，给我们提供了一种非常可贵却难以想到的设计思路，令人深受启发。

1、认识圆，不走寻常路？——在最有价值的地方停留和着力。

寻常的教学方法一般会让学生通过折、量、画等操作活动来探究并认识圆，通过大量操作，而后得出一些显而易见的、也许早已知道的结论。显然，这番过程往往并不需要太多的思考，操作的价值也难免不打折扣，探究也容易流于形式。而李老师却换了个思路，紧紧抓住圆的独特性，从似是而非的“圆”开始，进而将圆与其他平面图形联系比较，提出问题：圆与其他图形最大的不同是什么？从而启发学生讨论概括出圆的真正涵义，体会到圆的本质属性。学生也乐于思考与发现：圆不管怎么对折，两边都一样；圆没有顶点、也没有角；圆没有那种直直的边；圆的边线到中心的线段长度全都一样……我想，这种由混沌到明晰、由模糊到精准、从非本质走向本质的过程，是一次真正的数学抽象与概括，是一种很有意义的学习过程。但这，显然需要更多时间、也会更为艰难，不知李老师是否有充分预计到学生的学习困难呢？

2、画圆，舍弃操作？——取而代之的是思考与说理。

李老师真是太大胆了。圆的认识，居然不画圆。而是问：为什么圆规可以画出“一中同长”的圆来？通过讨论，学生明白了，圆规的操作，针尖位置的固定保证了“一中”、两脚间距离的固定保证了“同长”，所以就能画出较为标准的圆。至于画？以前画过，以后也会画，还是多花点时间思考吧。这真是一种艺高人胆大的处理方式啊，应该有课前调研帮助李老师做出了这个决定吧。如果此时我问：有没有还不会画圆的学生呢？好像有点杞人忧天了。所以，我收回这个不合时宜的问题。

3、圆的特征，从结论开始？——换一种认知方式，发展推理能力。

小学生不善推理，特别是归纳多、演绎少，这一点与中学生还有较大差距。而圆的特征，李老师竟打破惯有的思路（先探索再发现之类的），直接让学生从结论出发，自己去理解、解释、推演、说明、验证……我不免惊出一身冷汗。这等于是认同学生已经走完了前面一段，要进入更为抽象的思维层面了。这合适吗？可我转念一想，这种思维路径似乎也并不陌生哦，我们常常不就是这样，看到一个新的数学结论，会问问自己：我相信这个结论吗？有什么理由支撑我相信它？我怀疑这个结论？我能找出怀疑的根据吗……这其实是一个很常见的、很自然、很熟悉的认知过程。只不过近年来我们太习惯了让学生去探索发现，忽然之间李老师这样一变，我们还有点讶异。回味一下，发现这样一种过程也是很有数学思考价值的。小学数学中有些内容，与其让学生去探索，陷入低效的“伪探究”，还不如像这样换种思路，也许还能真真实实地思考点什么，特别是面对高年级学生。看来李老师这一招，还真是颇有深意啊。

当然了，这节课既然打破了那么多原有的经验，势必就难以完美。回忆点评专家们提出的种种建议，都不无道理：老师给的多，学生自己发现的少；抽象的推理多，朴素的操作探究少；内容安排太满，学生的时间偏少；跨度大的环节多，循序渐进由浅入深的少……专家们说的都对，照单全收。唉，新的东西嘛，就是没有啥经验，拿出来还不经典、不精致。要打磨的细节还有很多，比如：最关键的椭圆的出现，不就是老师自己给安排好了吗？“一中同长”这个本质属性，老师也没来得等待学生就自己直接说了；至于“圆内线段直径最长”这一结论，也是老师自己出示的，甚至“圆内线段”如何理解，学生都来不及细想……这些有瑕疵的细节，一定还有更好的方式去处理。但我丝毫也不担心，因为，改变已经开始了，路的方向已经调整好，何愁找不到优美的走路姿势呢？更何况，是李培芳老师这等高手。

（湖南  易虹辉）

 

超越数学，追寻数据背后的故事

——观汤卫红老师《山猫和雪足兔》一课有感

当我第一次拿到汤卫红老师的《山猫与雪足兔》这一课题，确实看不出汤老师要上课的内容是哪一个知识类型，心中只有一个感觉可能是清华附小所推动的数学阅读课程吧。带着这样的疑惑走进了汤老师的课堂。

 课中，汤卫红老师以加拿大Hudson Bay 公司收购的100年山猫－雪足兔皮毛的数据为依托，通过整理、分析、推断，发现这些数据所蕴涵的规律和事实，进而让学生经历统计的全过程，并在自主探索数据背后的故事的过程中获得对数据分析的思想方法和关键问题。整节课充分体现了统计教学的核心素养的熏陶，重视数据分析观念的培养，重视学生分析问题、解决问题能力的培养。

第一，真实、合理、有效是统计教  学的基本要素。真实是教学的第一要务。表现在提供的情景的真实性，教学中对待数学的真实性。汤老师以真实的公司收购数据为题材，并以收购的这些动物皮毛的部分（抽样）数据，较合理地推测山猫和雪足兔的生长情况；而不是创设学生感兴趣的情景或数据，这是一种严肃科学的教学态度，也是作为统计教学的根本素养所在。我们常在教学统计中发现教师或学生对待调查的数学比较随性，当学生统计的数据有问题时，往往出现教师或学生随意改变数据，以不科学的态度对待数据的收集过程，这是统计教学的大忌。

其二，加强数据分析观念的培养是统计教学的核心目标。教师设计了真实而有效的情景，首先让学生猜测山猫和雪足兔它们可能会有什么故事？并用图示表述它们数量变化情况，寻求数量变化的因素和特点。之后，引导学生经历数据的收集、整理、分析和描述的全过程，发展学生的数据分析观念。教师通过追问：你发现了什么？由于山猫是以吃雪足兔为生的，它们之间是捕食关系，在雪足兔数量增加的时候，由于食物充足，山猫大量繁殖，到达一定的数量，出现食物不足，数量开始下降，此时雪足兔天敌减少，又开始增长，一直循环。为什么会出现兔增，猫却在减少这种现象的出现？进一步让学生追寻数据背后的故事，这也是汤老师本节课教学的核心：学生数据分析观念的培养。

其三，教师非常重视学生自主学习与探究活动。教学的本质在于促进和激发学生的学习探究，而教师只是学生学习的促进者，引导着。本节课汤老师带着这种“以生为本”的思想，通过创设活动情景，激发学生的探究。在猜测山猫与雪足兔的变化情况、研究山猫与雪足兔的数量变化关系等活动中学生带着问题开展探索、思考、交流和发现，教师在巡视中适时的将学生探究发现的关键词条:波动、峰值、谷值、周期、趋势等梳理出来，成为学生分析数据的关键所在。这既是一种探究统计图中的发现，更是一种数据分析能力的表现。

同时，加强了学生核心素养的培养。核心素养是学生发展的要素，是基于知识学习又超越知识的一种能力表现。汤老师重视学生的素养培养。一方面，通过活动让学生感悟基于数据研究问题、看出变化趋势、寻求对策与推断、从而解决实际问题的意识和能力。在学生无法解析图中的现象时，这时，教师为学生提供了分析解决问题的策略和方法。当我们无法解析：为什么兔增，猫却在减少？我们就要去寻求其他情况对山猫数量的影响。原来自然界各种生物都是相互联系的，，草地肥美扩大了，兔子的生存空间大了，数量也就会增加；山猫的天敌增多了，它的数量也会减少……如此循环，保持猫兔数量的相对动态平衡、自然界的平衡。可见，这种基于学生核心素养的教学是有效的、优质的教学。

当然，我们还是要关注这节课的常态性。如果从数学常态课要求来看，他已超出了复式折线统计图的教学目标和要求，所以这节课只能定位在数学拓展课程的领域来思考。汤卫红老师的《山猫和雪足兔》一课，把复式折线统计图的数据分析知识融合在故事中，这是汤老师基于学生发展核心素养的“1+X课程研究”的整合案例。他是以儿童生活和数学的产生为源头；以数学化过程的合理经历为途径；以科学思想、方法和精神为纽带；以生长数学促进儿童生长为核心的数学课程改革。

（浙江  陈亚明）

  

爱有几分，能说清楚？

——赏汤卫红老师《山猫和雪足兔》有感

这是什么？你认识吗？

     

这是我从百度上输入“加拿大山猫”、“加拿大雪足兔”得到的。多可爱的小动物呀！可是这个课评的具体任务到底是什么呢？嘿嘿，有困难找百度！原来这是一节关于复式折线统计图的复习课，在北师大版的教材中“山猫和雪足兔”是以课后的一道练习题的形式出现的，何以教师如此浓墨重彩，将其以课题的形式出现？怀着的困惑的心情到了千课万人，终于明白，这原来是汤老师致力于成志教育使命下基于学生发展核心素养的“1+X课程研究”的整合课例。郑毓信教授昨天也对"1+x"课程的执着坚持给予了充分肯定和赞许。因此今天本人更是满怀希冀和期望，欣赏了汤老师的《山猫和雪足兔》，尽管品尝到了“整合”的美味大餐，领略到了汤老师深度思考中“用教材”的睿智，但是笔者思绪万千，内心留下更多的是这节课所带来的困惑。

笔者不反对改革，更不会反对整合，然而心底里却总有“爱有几分能说清楚，还有几分是糊里又糊涂”的感觉。说实话，接下来要写的，是我花了2个多小时给自己的鼓气——“中国最缺少的是交锋，太多的是拍手”（记不清哪位教授说了）。我相信学术研究更需要的是百家争鸣！或许，你听惯了学术中悦耳的赞美，心底里也盼望有人另类的声音；或许，你也与笔者一样“浅薄”，对于“1+X”课程整合确实有困惑。那样笔者的“无知”，也许正好成就了你的“渊博”。

一、学科？科学？哲学？是真还是假？

课题是“睛”，《山猫和雪足兔》到底是什么课呢？是诗情画意的语文，还是探索自然的生物，更是高屋建瓴的哲学？整合是否先从课题开始呢？

从广义上讲，课程整合是指将两种、两种以上的学科，融入到课程整体中去，改变课程内容和结构，变革整个课程体系，创立综合性课程文化。广义课程整合：针对教育领域中各学科课程存在的割裂和对立问题，通过多种学科的知识互动、综合能力培养，促进师生合作，实现以人为本的新型课程发展。课程整合涉及到课程结构、课程内容、课程资源以及课程实施等各个方面，从而促进课程整体的变革。此课程整合，由于动静比较大，学科教师和教研部门不能完成。应当由省市级以上的教育机构来负责组织、实施和推广。

从狭义上讲，课程整合就是将两种学科、两种以上学科，融合在一堂课中进行教学。狭义课程整合：对教师、学生、教学本身都提出了更高的综合性要求。这种要求并非面向知识，而是强调把知识作为一种工具、媒介和方法融入到教学的各个层面中，培养学生的学习观念和综合实践能力。此课程整合，可以由区县以上的教育机构来负责支持和积极推动，由教研部门和学科教师努力实施来完成。

以笔者的认知水平来看，汤老师的“1+X”应该是属于狭义上的课程整合，这节课或许整合了《数学》和《自然生物》等。笔者认为，每一位上折线统计图的老师，由于素材的原因，都应该不得不自发或自觉地进行整合吧！那么，汤老师整合的高瞻远瞩体现在哪里呢？笔者尝试去挖掘一下，《山猫和雪足兔》是否像哲学？汤老师又用了《数据背后的故事》来说明，这题目是否更像科学？是不是这两个题目更贴近小学生、更让他们喜欢呢？就像现在我们浙江某些学校的功课表中已经没有了“语文”和“数学”一样，这是不是就代表了整合的方向呢？就能让孩子更喜欢学习呢？笔者当然赞成用哲学来指导科学中的数学，然而笔者愚昧，孩子们学习数学其本身首先就是学习科学领域中的一门学科，能否还是用《复式折线统计图的练习》这样的课题，让大家一清二楚呢？

二、拓展？视野？目标？是甜还是苦？

既然是一节统计课，建立和发展学生的数据分析观念应该是课堂的核心目标。汤老师制定的教学目标“1.进一步体会复式折线统计图的价值。2.根据复式折线统计图对问题进行分析、判断、推理、发现规律、体会数学的价值。”笔者认为这价值首先应该是“数据分析观念”吧！至于山猫和雪足兔素材中涉及的生物数学，应当仅仅是教材中的一个练习拓展、开阔学生的视野而已，或许无足轻重。笔者十分佩服汤老师对教材的深度挖掘，然而细想，正如张梅玲教授所说的，山猫和雪足兔这素材是否与学生的心理距离、物理距离远了一些？它符合学生的“最近发展区”理论吗？即学生的“现有发展水平”是否很适合使用山猫和雪足兔这一素材？学生“可能发展水平”是否是生物数学？如果将这素材换作学生身边的“股票、气温”之类的，孩子是否能更容易经历“数据收集、数据整理、描述、数据分析判断”这一过程呢？同时，进一步思考，如果换素材的话，不能体现生物数学的整合是否就十分可惜了呢？笔者十分赞成张教授的共性和个性一说。笔者钦佩的是，这应该是汤老师进行课程整合改革中迈出的艰难一步，她必将为我们广大的教师进行课程整合打开思维的窗户！但同时也有那么点小小的疑惑，如果为了生物数学的整合是否偏离本课的目标呢？另外，从课中看出，笔者与汤老师一样地认为，数据分析观念是核心，脱离了统计过程的经历，观念就成了无本之末。因而，笔者有一个小小建议，经历统计过程，不妨加上“认识随机性”，这应该是数学的内容。数学课，自然“数学”是核心。

三、统计？数学？生物？是醒还是梦？

正如孔企平教授所说那样，笔者对汤老师让孩子们经历了统计的全过程十分赞赏，然而，以往的教学经验、教训告诉我们，学生即使经历了统计的全过程，如果缺失“思想”，充其量只是扎实了统计的“双基”，并不能自动转化、升华为数据分析观念。

数据分析观念实质是三个紧密联系的思想：整体思想、随机思想、相对思想。课堂中，为了研究山猫和雪足兔数量的变化情况，汤老师首先引导学生提出问题“怎么收集数据呢？”同时指出虽然获得的数据不是整个森林的情况，但是却能够代表山猫和雪足兔的数量之间的变化。接着又让孩子进行了8分钟的探究活动：“1.观察：从整体和局部分别观察两条折线，你有哪些发现？2.测量：用‘时间尺’量一量，你有什么发现？3.比较：比较两种动物的数量变化，又有什么发现？讲讲数据背后的故事。”学生在汇报中也都提出了诸如“为什么有时候兔子增加了，山猫却减少了呢？”……“数学家得到了这个模型与实际一样吗？为什么不一样呢？”……“雪足兔数量是受山猫数量的唯一影响吗？……笔者与听课的老师都为汤老师的精彩设计，精心安排有深度、有价值的问题折服，同时也为孩子们的精彩表现喝彩。然而在汤老师让孩子感受“数据”力量的时候，是否能增加一点专业引领，通过更多的“质疑”，提升让孩子感受到数学的内涵、统计中的思想观念呢？这其中的层次与逻辑是否需要汤老师再花些力气呢？笔者担心的是，目标引领生物数学或者说关注生物数学太多，是否会影响这节课最重要的本质呢？

或许，笔者没有领略到汤老师“1+X”中的精髓，因而只能静下心来等一等、看一看，也许若干年之后，才能真正领悟到汤老师带给笔者的心灵震撼！因此，汤老师完全可以那样——人生就是一万米长跑，如果有人非议你，那你就要跑得快一点，这样，那些声音就会在你的身后，你就再也听不见了。这本身就是改革者、时代弄潮儿的勇气！期待汤老师的改革之花盛开神舟。

（浙江  李加汉）

 

在“难”和“易”之间寻找平衡点

——我看骆奇老师的《钉子板上的多边形》一课

《钉子板上的多边形》是五年级综合实践这一领域的内容，新教材安排这一实践活动的价值不仅仅在于得出一个结论，而是重在培养一种“科学家思维”——让学生像科学家一样，经历规律探索的一般过程与方法，积累数学活动经验，从而培养学生善于发现的眼光，科学严谨的态度，归纳概括的能力。

这个教学内容，安排在学生建立、形成了面积概念，掌握了常用面积单位，能计算简单图形面积的基础上进行，综合性强。对学生来说，是一次既有趣又富有挑战性的活动。

  数学研究的是千变万化中不变的规律，骆老师这节数学课洋溢着浓浓的探究味。整节课老师注重引导学生经历观察、猜测、验证、调整、结论等数学探究过程，并通过反思积累数学学习经验，掌握研究问题的科学方法，增长智慧，培养学习兴趣和理性思维。我认为，这节课最大的特点就是在“难”和“易”之间寻找到了平衡点。

一、这个内容，到底难在哪里？

第一、很抽象：皮克定理被誉为有史以来“最重要的100个数学定理”之一。皮克定理中变量多，在探求公式时采取了“控制变量法”的思维方式。这对小学生来说，是比较抽象的。

第二、计算量大：在钉子板上围图形、数钉子的枚数、算图形的面积，这些都是学生喜欢做、能够做的事情，他们会乐意参与这次活动。然而，钉子板上围出来的图形大多数不是规则图形，也不是简单图形，求它们的面积没有现成的方法可以使用，得出图形的面积计算量比较大。

第三、关系复杂。多边形内部的钉子数a与多边形边上的钉子数n和多边形的面积s之间的关系比较复杂。不深入研究，不易发现。

  

第四、综合性强。首先要画图、列式，为总结规律提供素材，然后还要纵向、横向比较，发现变量和不变量，总结出规律，最后还要验证所得规律。学生要在比较短的时间里经历一个数学家完整的探究过程，才能得出这样的规律，这对学生要求较高。

二、骆老师的课，是如何转化的？

张奠宙教授有个著名的观点：教师的任务是把知识的学术形态转化为教育形态。教师的一桶水要成为学生的一杯水，不能简单地“倒”出来就行，而是要有一个转化的过程。把数学知识转化为教育形态，一是靠对数学深入理解，二是要借助人文精神的融合。

是啊，我们教的毕竟是儿童数学，需要在深入之后浅出，选用儿童易于接受的形式、选择儿童可以接受的内容、开展儿童乐于探究的活动。

我们来看看骆老师的课，是如何转化？

课堂教学分三段安排探索活动：围成的图形内只有1枚钉子的规律；围成的图形内有2枚钉子的规律；回顾探索和发现规律的过程，交流体会、积累经验。这样的设计深入浅出，循序渐进，使得学生能拾级而上。

1.明晰概念，扫清障碍

这节课的基本概念很多，磨刀不误砍材工，先花几分钟理清这些这些概念非常有必要。尤其是“里边的点”“边上的点”“外边的点”等容易混淆的概念。

2.先易后难，循序渐进

骆老师引领学生从最简单的“里面有一个点”的图形开始研究。值得一提的是，这个过程中，骆老师并没有拿出自己准备好的几个图形，而是放手让学生自己画出这样符合要求的图形，展示学生们自己的作品，有三角形、正方形、菱形、五边形、六边形等。就用这一组素材做为四人小组探究的素材。因为比较简单，学生们经过一番研究，很快就得出了结果，学生发现多边形的面积=边上的点数÷2。

有趣的是，有一个学生，他画的是直角梯形，刚开始误认为不符合这个规律，特意拿到前台展示，结果在展示的过程中，发现原来是自己错了。

在得出结论之后，学生特意强调了有个前提条件“里面有一个点”，初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量变化规律的科学思维方法。

3.借助工具，活动顺畅

“工欲善其事，必先利其器。”——要想工作做好，一定要先让工具锋利。在探究很有难度的“里面有两个点”的多边形面积时，老师适时出手帮助学生，要求学生们把相关数据填在表格里，使得学习活动更加顺畅，方便学生发现规律。

遇到挑战性的任务，愿我们都能像骆老师学习，有一种“工兵精神”——“逢山开路，遇水架桥”。

 （浙江  杨迎冬）

 

品味数学课的“真味道”

——学习骆奇老师《钉子板上的多边形》一课有感

数学课的“真味道”究竟是什么？本次千课万人的盛会上，来自海峡两岸的三位名师，通过对“钉子板上的多边形”这节课的“同课异构”， 给我们提供了很好的答案。三位老师虽教学设计不同，教学风格各异，但都上出了新常态数学课的“真味道”。按照组委会的安排，我仅就骆奇老师的这节课，和老师们一起来学习和品味。

“钉子板上的多边形”是苏教版五年级上册安排的“综合与实践”的教学内容。它借助多边形面积的计算，引导学生探索一定的数学规律。其教学价值不仅仅是得出结论，而重在让学生经历探索数学规律的一般过程与方法，积累一定的数学活动经验，培养学生数学观察、发现、推理、归纳概括等学习能力和科学、严谨的学习态度。而这些，正是数学课所要承载的重要的教学目标，也是培养学生数学核心素养的关键所在。因此，骆奇老师的这节课，上出了浓浓的“数学味儿”。

一、数学的“探索”

数学有一种美叫“规律美”。而存在于数学自身的“规律”更是充满了神奇。自然，学生对它的探索就显得更加地好奇和兴趣盎然。而这仅仅是“探索之旅”的开始，课标要求我们：数学探索的过程应该更加注重探索的方法和技巧。

本节课上，要探索的规律是“多边形的面积与多边形里面的点数、边上的点数的关系”。骆老师先引导学生明确了相关的基本概念，如：里面的点数，外面的点数，边上的点数等。这是探索规律的基本要素，也是关注点所在。接着，以里面的点数的变化为线索展开“探索”活动：先从探索“多边形里面只有1个点时，多边形面积与边上点数的关系”开始，借助几何直观，让学生“初步发现”：“多边形的面积与什么有关？又有什么样的关系？”；接下来，引导学生探索“多边形里面有2个点子”的情况，借助数据列表，让学生有了“进一步的发现”；在学生积累了一定的学习经验的基础上，教师又大胆放手让他们课后去探索“多边形内部有3个、4个点子……”的“不同发现”，推想并验证“多边形内没有点子”的“特殊情况”等等，为学生的后续学习中进一步探索、发现并完善规律留足了时间和空间。整个探索活动的设计得有层次，有梯度，有扶有放，尊重了学生的认知规律，也尊重了探索规律的“规律”。

二、数学的“推理”

课标指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”而探索数学规律的学习更离不开数学的推理。根据小学生的学习能力，本节课更多地采用了数学的“合情推理”。从简单问题入手，层层推进。引导学生通过研究实例得出数据，通过对比观察有了一些发现，通过猜想又进行了验证，通过类比进行了归纳，通过概括得出了结论。整个过程培养了学生思维的条理性、全面性和严谨性。对学生数学推理能力的形成和发展起到了潜移默化的作用。

三、数学的“思想”

数学思想是数学的灵魂。“它蕴藏在数学知识的形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。”因此，有“思想”的数学课才是最有味道的数学课。本节课中，数形结合的思想，分类的思想，推理的思想等渗透在探索规律的整个过程中，对培养学生的数学素养起到了“润物细无声”的作用和效果。

四、数学的“经验”

数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。而“综合与实践”又是积累数学活动经验的重要载体。本节课借助规律的探索，为学生提供了充分的从事数学活动的机会，如：在钉子板上画出不同的多边形，收集有价值的数据汇总列表，个人独立猜想，小组讨论探究，共同归纳概括等等。让学生在“做”和“思考”等过程中除学到了知识，同时也积累了宝贵的数学活动经验——数学探索的方法，数学研究的态度，数学发现的成功和喜悦，对数学自身的魅力和价值的感悟……这对学生的成长和发展终生有益。

几节“同课”的“异构”和专家的现场评点，也触发了我的一些思考，想借此机会和骆老师及与会的老师们商榷：

1.对规律的探索是“点到为止”还是要“弄个明白”？

值得学生探索的数学规律很多，不同版本的教材在编排时选择的素材各不相同，但教学目标都是一样的。我和很多老师一样，也是初次接触到这一内容，自然也就对存在于其中的规律充满了好奇，进而产生了探索的欲望和热情。虽然强调探索规律的教学目标重在经历探索的过程，但我觉得对于规律到底“是什么”也同样需要弄个明白。显然，由于时间关系和探索的难度，骆老师的教学把它作为问题留在了课下。我想，平时教学时，哪怕再补上一节课，也一定要让学生从分类发现的“小规律”中找到其中的“大规律”。因为“探索规律”的目的之一也是为了“发现规律”。

2.数学规律是否需要数学地表达？

本节课，同学们分类发现了“多边形里面有1个、2个点子”的两个“小规律”，骆老师均以文字叙述的方式进行了呈现。我觉得，发现规律后最好还是用数学的方式来表达，因为数学表达规律的过程正是数学建模的过程。如果骆老师引导学生用含有字母的式子来精确、简洁地表达规律，就能较好地培养学生的“符号意识”，有助于学生初步形成“模型思想”。而这些，也是新课标所注重发展的学生的重要核心素养。

3.“看图形发现”和“看数据发现”哪种方式让学生的学习更容易？

在探索“多边形里面点子数是1”的规律时，教师让学生借助几位学生所画的多边形图，在只标有面积数据的基础上观察并发现。我觉得，如果把面积和边上的点子数的数据都列表统计，学生借助一组清晰的数据会更容易地观察并发现其中的规律。

4.“多边形的边数”在本节课的教学中有何价值？

课始，骆老师为了让学生辨别一个多边形是“七边形”时耽误了一定的时间。课中，在探索“多边形里面点子数是2”的规律时，又在表格中设计了“多边形”这样的统计栏目，并进行了相应的数据统计。我觉得，这组数据对规律的探索作用不大，还有可能会干扰学生的发现。

因为是第一次接触“钉子板上的多边形”这节课，很多思考都很不成熟，不当之处敬请骆老师谅解。愿与骆老师，还有更多的专家、老师们一起学习和交流。

（河南  张红娜）

 

重方法指导还是重归纳规律？

——听台湾林心怡老师《钉子板上的多边形》一课有感

《钉子板上的多边形》是苏教版五年级上册“综合实践”领域的内容。或许是由于探究难度太大，这一内容未被国内绝大多数版本的小学数学教材选入。台湾林心怡老师执教该课后，与会专家和听课老师引发了对目标定位问题的思考和讨论。是侧重方法指导还是侧重归纳规律？就这节课而言，笔者更倾向于林心怡老师的课堂处理：更重视对学生探究方法的指导。课堂体现主要有以下几个方面：

1.引导主动分层探究。林老师没有如教材那样，直接出示内部格点为1的简单多边形，而是出示三个周点、内点（林老师自造新词，有利于学生表述）都不相同的任意多边形。显然这三个多边形是不利于学生探究的。但学生通过观察，发现内点、周点不同，因而面积也不同，显然这三者有一定关系。如何探究？内点、周点各不相同，探究难度太大，迫使学生思考如何降低探究难度，在此基础上学生更容易接受先设定内点不变的分层探究，这完全不同于在教师直接指示下的被动研究。

2.学生自选研究材料。课堂上四个层次的探究，所用多边形都是学生现场自主画出的，这使得探究材料更丰富，探究活动更开放性，增加了探究活动的真实性。

3.精心设计学习单。林老师为每次探究活动都设计了学习单，化教学目标为学习任务，保证每个学生都参与到探究中来。

4.组织同伴合作探究。林老师充分组织同伴合作学习，活动时间充分，合作探究深入。并在活动中通过亲切的语言，甚至夸张的语调，营造宽松的学习氛围，鼓励学生积极思考，大胆探索。

5.指导探究具体方法。林老师比较突出地引导了用字母表示规律、用列表法帮助观察的具体探究方法。探究一开始，林老师就提出用n、s等字母表示研究对象，让学生体会到符号表达使数学规律一目了然。至于列表法，林老师先是通过点评学生的记录单，让学生在对比中体会到列表法的便捷，又在随后的探究中不断提醒、鼓励和强调，这对学生掌握列表法无疑起到强化作用。

6.重视对探究结论的验证。具体体现在专门组织两次分组活动，让学生随意举例，对结论进行验证。皮克定理的理论证明具有严密的逻辑性和抽象性，小学生不具备这样的基础知识和认识能力。充分举例验证，有利于帮助学生积累数学活动经验，为进一步学习打下基础。

总之，林老师在指导学生探究上是成功的。按朱德江老师的说法，教师如何引导学生研究，核心是处理好学与导的关系。林老师的教学印证了这一点。整节课注重引导学生经历观察、猜测、验证、调整、结论等数学探究过程，重在让学生经历规律探索的一般过程与方法，积累了数学探究活动经验，培养了学生善于发现的眼光、科学严谨的态度和归纳概括的能力。

关于提高探究活动的科学性方面，笔者有以下小小的建议：

第一，分层探究之前学生必须明确：当两个量都在变化时，不利于观察比较得出变化规律，比较容易探究的是一个量不变，另一个量变化，面积随之变化。这一点，既可以通过在课堂上提供多组数据（周点相同，内点不同；或者内点相同，周点不同）观察得出，也可以利用已有学习经验（如积的变化规律）类比得出。这是对穆勒的归纳五法（探索因果联系的归纳方法）的初步渗透。

第二，通常选择分层探究的第一层次是内点为1的多边形，得出的结论是：s=n÷2，随着内点的增加，公式随之变化：s=n÷2＋1、s=n÷2＋2、……，当内点为0时，公式又突然为：s=n÷2－1。能否先研究内点为0的多边形？甚至先研究内点为0的长方形？一则得出的结论：s=n÷2－1与最终结论十分接近，考虑内点时，只需直接加上a即可；二则，便于说明周点与面积、内点与面积的关系，这在研修现场曹培英老师已经提过了。

（浙江  朱志敏）

 

巧妙破译“探索规律”的教学“密码”

——台湾林心怡《钉子板上的多边形》一课教学赏析

“探索规律”，作为新课程进一步强化和突出的重要内容，越来越受到广大教师的普遍关注。加强和重视“探索规律”的教学，不仅可以进一步激发学生数学学习的兴趣，优化学习方式，而且对于加深他们对数学知识的理解与认识，促进思维能力逐步提升等方面均有着重要而积极的作用。《义务教育数学课程标准》（2011版）对第二学段“探索规律”内容的要求是“探索给定情境中隐含的规律或变化的趋势”。面对“隐含的规律”和“变化的趋势”，一线教师常常很难把握“规律教学”的“要义”和“火候”，要么蜻蜓点水，让规律“走过场”，要么过分强调，让规律“陷僵局”。

台湾著名数学教师林心怡执教的《钉子板上的多边形》一课，简约深刻，自由开放,妙趣横生，以一种新的视角为我们精巧破译了“探索规律”教学的行进“密码”，令人回味无穷。

一、重视过程:让“规律”探索自然行进

“探索规律”的教学，自然是以“规律”探索的过程为基本立足点和出发点。精心设计探索活动，引领学生在具体情境中充分经历规律的探索与发现过程，无疑便成为“探索规律”的关键性一步。

1.整体感知，猜测规律。

“规律”的得来，离不开对大量、丰富素材与数据的分析与研究。课伊始，林老师简要揭示了“周点”、“面积”、“内点”之后，便以周点为8，面积为4，内点为1的长方形为例，进行了巧妙变化——“如果面积改变，内点、周点的数量会不会改变？”“如果面积变回4，内点、周点会变回来吗？”一边追问，一边结合着钉子板上直观的图形及对应的数据进行对比、观察、分析。这一过程，我认为用意有三：一是让学生整体感知“内点”、“周点”和“面积”三个变量之间的紧密关系，为接下来的深入探索提供了思维模型；二是让学生感受到所要研究问题的复杂性，为接下来的分类研究创造机会；三是唤起探究欲望，激发探究兴趣。

2．分步研究，探索规律。

面对复杂的问题，既要有整体思想，全面认识，更要有分步研究、层层深入的意识和能力。林老师让学生感受到了问题研究的复杂性之后，便巧妙破解难题，分步推进。“我们先来讨论周点改变，会不会影响面积？”引导学生围绕内点为1，探讨周点和面积之间的关系。此过程，学生四人为一组，每组至少在练习纸上画了三个多边形，并进行了数据记录和分析，各个小组均顺利得到了：S=n÷2。然后，教师进一步提出新的问题：“如果内点为2，它们又会有怎样的关系呢？”学生又以两人为一小组进行了探究。整个探究过程，教师高度放手，从研究素材的生成，到研究数据的观察与分析，再到研究结论的总结与表达，全部由学生来独立完成，科学有序，民主高效。

3．及时对比，总结规律。

规律探索，离不开对大量素材和数据的研究与分析。在研究与分析的过程中，有一重要的方法，那便是对比。通过对比，便于寻找异同，发现规律，深刻认识。在林老师的课上，她多次引导学生对数据和得到的结论进行对比分析，不断将规律认识引向深入。特别是每组汇报时，林老师都在黑板上记录下他们总结的关系式，无形间既默默强化了规律，又让学生在对比中感受到了研究者不同、研究素材不同、研究过程和表达方式不同，但却得到了相同的“规律”。在变与不变中感受“规律”的必然性，通用性，体会到了数学研究的无穷魅力。

4．充分验证，强化规律。

任何研究结论，都要在充分验证之后才会被进一步认可，特别是运用不完全归纳法得到的“规律”，更需要引导学生充分验证。林老师在放手让学生分别探索了内点为1、内点为2多边形面积与周点的关系之后，引导学生对所得到的结论进行了及时验证。这样一来，既让学生对所发现的“规律”有了进一步的认识与理解，又让学生经历了完整的科学探究之旅，培养了学生科学、严谨的研究态度和研究精神。

二、关注方法:让“规律”探索科学有序

“探索规律”的教学，是以规律探索为素材，引导学生运用科学的方法，经历探索过程，感受探索乐趣，积累探索经验的活动。在这样的过程中，离不开科学、有效的研究方法。研究方法的发现、总结与运用，自然也成为了“探索活动”教学的重任之一。

1．过程中自悟。

好多有效的研究方法，都是研究者在研究过程中自然而然发现并总结出来的。学生的探索活动，也必然会生成和积累一些有价值的研究方法，教师在此过程中要充分关注并为其积极创造条件。林老师在课中，多次适时引导学生发现并总结方法。当学生探索完内点为1的多边形周点和面积之间的关系之后，林老师及时追问：“大家觉得哪一组的记录比较容易发现规律？”此语，问得妙！真是一箭而双雕！她既是在引发比较，又是在引出一种有效解决问题的策略——列表。这一过程，唤起了学生对研究方法的关注，更在培养学生一种善于观察、勤于反思、重视方法的意识与能力。

2．互助中共悟。

真正有意义的合作学习，不应仅仅是学习团队对知识的习得，而是还应在发现的过程中善于及时反思，总结经验，修正方法。在林老师的课上，她为学生创造了多次合作学习的机会，从4人合作探索内点为1的多边形周点和面积之间的关系，到2人合作探索内点为2的多边形周点和面积之间的关系，再到全班合作验证结论。在合作中，教师适时以问题引领学生进行方法总结与梳理，不断让学生在规律总结的过程中感悟方法，积累经验。

3．必要时点拨。

儿童由于年龄小，研究经验不足，因此，一些必要的研究方法有时需要教师及时予以点拨。林老师在学生的研究过程中，结合研究进程，及时对研究方法进行了归纳与总结。不管是“列表找规律”、“用字母表示关系式”还是“假设——验证”等等，都在适当时机，对学生的研究方法及时予以点拨、归纳，让学生在规律探索的过程中，不断关注方法、重视方法、完善方法。这样，让规律教学不再是仅仅为了得到规律的教学，而是让其承载了更多育人功能，很好地渗透了研究精神与研究方法的培养。

三、训练思维:让“规律”探索超越规律

语文教学，常以“明线”和“暗线”两种视角进行课文分析。我认为，数学教学同样也存在这样的两条线索，即学习活动的行进过程为“明线”，思维训练的巧妙渗透为“暗线”。本课中，思维训练虽不是“探索规律”的基本环节和主要任务，但它却作为贯穿整个活动的“暗线”却一直存在。在林老师的教学中，她结合探索进程，及时巧妙地予以了关注和渗透，让规律探索超越了“规律”。

1.归纳与类比。

林老师的课中，4人合作探索内点为1的多边形周点和面积之间的关系，2人合作探索内点为2的多边形周点和面积之间的关系，这两个环节，都是先研究实例，得出数据，再在数据中提取规律，思维方式是归纳推理。而到了内点为0、3、4、5……多边形周点和面积之间的关系的探索过程，却是先猜想多边形面积与周点数量之间的关系，再分组用实例验证是不是存在这样的规律，思维方式是类比推理。两种推理方式的运用，既确保了顺利、及时得到结论，又巧妙训练了学生的思维。

2.比较与分类。

比较是确定两个或两个以上的对象或同一个对象在不同时间条件下的相同与不同点的思维方法。本课中，教师多次引导学生进行比较，在比较中发现规律。从周点相同（都为8）时，两个图形面积和内点数量的比较，到学生记录数据方式的比较；从发现内点为2的多边形周点和面积之间的关系时的“为什么画出的图不一样，得到的关系式却都是一样？”的比较，到最后分排验证规律后的整体比较等等，时时引导学生在比较中发现规律，加深认识，训练思维。在课伊始，引导学生感受“内点”、“周点”和“面积”三个变量时，由于变量多，关系复杂，不便于研究，教师及时对研究对象进行了分类（内点为1时多边形周点和面积之间的关系，内点为2时多边形周点和面积之间的关系，内点为3、4、5……时多边形周点和面积之间的关系。），既确保了研究活动的顺利有序进行，又渗透了分类思想。

3.抽象与概括。

抽象就是在认识事物中，抽取其共同的、本质属性或特征，舍弃其非本质属性或特征的思维方法。概括则是将抽象出来的同类事物的共同属性连结起来，并把它推广到同一类事物上去的思维方法。林老师的课中，每一个探索活动之后，“作业纸”上都有学生记录关系式的空格，实际上就是在引导学生对发现的规律先进行抽象，然后用数学语言（数据或模型）进行概括表达。几次探索活动，几次抽象与概括，学生的抽象与概括能力得到了提升。

一点商榷：笔者以为，“举例验证”环节虽然涉及到了，但来得有些迟。如果在发现内点为1的多边形周点和面积之间的关系（即S=n÷2）之后，接着引导学生进行举例验证，那样效果将会更好。理由有三，一是让学生明白“举例验证”是探索规律的重要环节之一，必不可少；二是让学生体会“探索活动”的完整性、科学性与严谨性；三是为后续的探内点为2、3、4、5……的多边形周点和面积之间的关系积累经验。一人之见，还请各位批评指正。

（江苏  赵国防）

 

有意思的问题，有价值的教学

听骆奇，林心怡《钉子板上的多边形》同课异构有感

有这样一个漂亮的初等几何的结论，它成功的逃脱了欧几里得，阿波罗尼奥斯，阿基米德等古希腊数学大贤的目光。二千多年来，它又一次次从笛卡尔、费尔马、牛顿、欧拉、高斯等一个又一个的数学大家的工作中逃脱，直到约120年前才被人类偶然捕获。或者说，它本来就静静的呆在那，自人类有职业数学家以来的2000多年，都没有人能发现它。这个结论被称为皮克定理，它揭示了格点多边形边上的点，内部的点与多边形面积的关系。现在，这个材料被苏教版小学数学教材选用。今天，来自深圳的骆奇老师和来自台湾的林心怡老师带领五年级的小学生，成功的重走了人类发现这个结论的关键几步。

显然，这不是一个容易被发现的结论，从它成功的在所有的职业数家面前隐身了2000多年这一点就可以断定。这也不是一节容易上的课。至少有三“不易”。

一、方向不易明确。对于这样一个通过归纳发现规律，继而获得结论的课来说，我们显然先要明确研究的方向。两位老师在教学实践中都提出了这样一个问题：格点多边形的面积与什么有关？学生的猜测有很多，比如有的同学猜与周长有关，有点猜测与围成多边形的点有关（即边上的格点数），还有的猜测与多边形的形状有关。凡此种种，不能说没有道理。事实上，格点多边形的面积的确与这些因素有这样或那样的关系。就象三角形的面积，尽管我们通常用底乘高来计算其面积，但我们说三角形的面积与三边长度有关，或与周长有关，或与某个内角的大小有关，这都不能说是错的。事实上，在计算三角形面积时，我们有时候就是利用这些因素来计算的。在这里，存在一个“与什么有关”和“由什么决定”的问题。我们关心的不是与什么有关，而是由什么决定。要确定格点多边形的面积可以由多边形的相关格点数决定，从而明确研究方向，是很不容易的。

二、问题不易锁定。即是明确了研究方向，即研究与格点多边形相关的格点数与多边形面积的关系。要锁定研究问题依然不易。因为我们需要从注意到相关格点数出发，继而将格点分为两类(事实上，将与一个格点多边形相关的格点分为两类并不是当然的，我们也许开始想不到要分类，如果分类的话，也许会把边上的点和角上的点分开考虑等等)，要把问题锁定为寻找面积与多边形内的格点数与多边形多上的格点数这两个因素的关系，是很不容易的。

三、方法不易理解。即使锁定了问题，要理解研究方法也不容易。对于这样一个研究目标值与多个因素的关系的问题，我们都说要固定除一个因素以外的因素，观察目标值如何随着这个没固定的因素的变化而变化。但学生并不具有使用这一方法的经验。事实上，研究目标与多个因素相关的问题，学生以前也碰到过，但从没有用这种方法研究过。就以面积研究为例。长方形的面积与长和宽有关，我们研究的时候没有固定长，观察面积如何随宽的变化而变化。平行四边形、三角形的面积也是如此。梯形的面积与上底，下底和高三个因素有关，我们在研究的时候也没有固定其中的两个因素，观察面积如何随第三个因素的变化而变化。因此，尽管我们认为这种分离变量的研究方法是当然的，让学生理解实属不易。

有以上三“不易”，教这一节课，整体就不易了。事实上，解决以上三“不易”中的任何一个，都值得我们花一节课的时间来研究。带领小学生在40分钟内研究并解决这样一个问题，注定不可能面面俱到。因此，这一节课的教学，教师的选择是很重要的。针对以上三“不易”，教师必须作出决策：哪些问题上突出教师的主导，哪些问题上突出学生的自主。正因为有这诸多不易，老师的选择的余地是很大的。也正因为这种选择余地，使得不同的老师教这一节课可以做到“各美其美”

骆老师在“明确方向”方面给学生自主的空间比较大。这一点从学生猜想多边形的面积与各种可能因素相关时，骆老师的“我也不知道与什么有关，大家四人一组研究研究”的处理可以看出。

林老师显然在“明确方向”与“锁定问题”方面较多的发挥了自己的主导作用。这一点从林老师很快给出周点，内点的意义及符号表示，并明确研究多边形面积与周点数数和格定数的关系（而且具体明确这种关系应通过一个关系式表达）可以看出。

正因为这种区别，使得两位老师在带领学生通过“分离变量”的方法研究问题时所花时间和精力有所不同，骆老师稍显紧凑，林老师更显从容。两位老师都力图体现研究问题的过程，林老师的观察、猜测、符号表示、验证等过程稍显工整。

顺便说一句，林老师在带领学生验证猜想时的一些表述，给我很深刻的印象。林老师会对学生说，如果你验证成功，就赶紧告诉我，让我知道双多了一个支持我们猜想的例子。这样的例子越多，我们的猜想就越可能是正确的。当学生说发现了不支持猜想的例时，林老师如获至宝，赶紧请学生展示（当然，最终结果是学生计算有误，他的例依然支持猜想），这些话让我觉得林老师深知猜想与验证的个中三味。体现出老师扎实的功底。

（湖南  张新春）
 

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