“千课万人”第二届全国小学数学“新常态课堂”研讨观摩会
4月14日互动专刊
专家课评
无边界课堂，改变教学的走向
——唐彩斌老师《数学欣赏：螺旋的美妙》一课赏析
“拉宽视野，开发课程，拓展课型，探索教法”，当一位教师始终具有这样的意识与使命的时候，那么，他就成了课程与教学改革的领跑者。无疑，唐彩斌老师，就是这样一位拓荒者。《美妙的菱形》、《好玩的周长》、《数学阅读：三角形的内角和》，这些课，均不是教材内容，但唐老师躬身实践，致力于数学课程新领域的开发与实践，从目标的架构、材料的组织、过程的设计，平地而起。《数学欣赏：螺旋的美妙》一课，依然如此。由此，我们不得不感佩唐老师作为课程建设者与思想引领者的饱满热情与强烈意识。
如果从课堂教学的一般角度，目标的丰盈多元、进程的行云流水、教师的风趣亲和，尤其是对学生个体的真诚关注，可圈可点处颇多！本文暂不作展开，笔者试图从“课程价值”、“课型定位”的角度与大家分享点滴思考。
思考一：这样的课程内容有价值吗？
国内的教材大多没有将“螺旋线”作为教学内容，只有较少的课外阅读材料补充介绍，于是，我们不得不思考：这一内容是否值得学习？事实上，从今天的课堂演绎看，答案是肯定的。
①“审美与应用”价值。
美丽的玫瑰花、可怕的飓风、巨大的银河系、奇妙的建筑、人体的耳朵、游泳甩出的小花、苹果手机的造型，……生活中处处有美妙的“螺旋线”。甚至，经典如“蒙娜丽莎的微笑”、热门如电视剧《琅琊榜》取景，都被唐老师一一撷取。至此，“斐波那契数列”、“奇妙的螺旋图案”，就在我们的生活中；至此，数学之奇、数学之妙、数学之美，数学之用，孩子们体会得淋漓尽致。
②“思维与观念”价值。
“观察一串难以捉摸的密码，你有什么发现？”“数列1、1、2、3、5、8、13、21有什么规律”、“观察前一项与后一项的比值，你有什么想说的”？引导学生经历观察、发现、归纳、推理的过程，这一过程，无疑对于发展学生的思维大有益处。
“能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系”，是空间观念的重要表现之一。“动手创作螺旋线”、“计算螺旋线的长度”等环节中，创作前、计算时，都需要对螺旋图形进行分解，并分析每一个扇形圆心在哪里？半径是多少？如果没有较强的空间观念，是不可能完成分解与分析任务的。从这个角度讲，“空间观念培养”这一目标已悄然蕴伏。
③“知识与技能”价值。
体现目标立意高位之外，对于数学基础的落实，教师关注了吗？“创作螺
旋线”、“计算黄金比”、“比较三个图形的周长”，这些任务中，我们又能看到，唐老师对于“知识技能”课程目标的重视与落实。“画圆技能”、“除法计算技能”、“周长计算技能”在任务驱动中有了巩固与熟练。
以上，表达得重点是，“拓宽图形视野，挖掘丰富价值”，《螺旋的美妙》可谓功不可没。
思考二：这样的课型有怎样的特征？
我们发现，教师自拟的课题是——《数学欣赏》，这是一种不被老师熟悉的新课型，那么，作为 “数学欣赏”这样一类课，具有怎样的特征呢？
①关注整合。首先，关注学科间的整合。电影、美术、音乐、建筑，文学
（用800个字写一篇论文、用18个字写一段感受），与数学相互交融、彼此交叠，这对于“突破学科本位”、“打破学科疆域”、“重组课程要素”，“使分化了的教学系统各要素形成有机整体，成为体系”，变得可能并已然现实。其次，关注领域间的整合。“数与代数”领域的“运算、探索规律”与“图形与几何”领域的画圆、圆周长、图形欣赏等相互综合、数形联系。在倡导课程整合、鼓励课程资源开发的大背景下，《螺旋线》一课，无疑是十分应景与契合的。
②凸显欣赏。观课过程中，我们可能会有疑惑，老师为什么多次给出图欣
赏、微视频欣赏、生活应用欣赏？可以说将“欣赏”进行到底、贯穿始终。事实上，这也就为本类课作了鲜明注脚，它有别于一般的知识技能课，有别于实践活动课，有别于数学阅读课，而是旨在让学生通过听、看、想、说等形式，欣赏各类有关的数学历史、数学故事、数学趣闻、数学人物、数学图案，去感知体味生活中的美。笔者以为，这可能就是唐老师为什么定义为“数学欣赏”的本意吧。
③延伸拓展。这一类课定位于教材知识基础上的知识、能力、方法的拓展内容，基于教材有不局限于教材，是教材知识的补充与延展。例如，“螺旋的美妙”一课就可以看作是“圆的认识”这一知识的衍生与拓宽。
进一步思考：
1.以“空”求“灵”
纵观整节课，除了欣赏环节，教师交给学生的任务一共有四个：①观察数列，发现规律；②画螺旋图案；③揭示数列与黄金比的关系；④比较图形长度。其作用分别为“引出图形”、“探究为什么美”、“揭示螺旋线属性”。任务要求是：“在方格纸上画一画扇形”、“算一算，前一个数除以后一个数所得的商”、“分别算一算A、B、C三个图形”的长度”，我们看到，每一个任务指令明确、操作简单，于是就降低了任务的复杂性与思维参与的潜力。试想，如果在学生创作图案时，没有视频的动态作图模仿，没有圆心半径的给出暗示，而是让学生自己分析图形，让学生自主寻找圆心、半径；在比较图形时，用多种策略，而不是指令计算，那么，任务是否就不会降格为模仿与操作呢？扩大任务空间，促进思维灵动，所谓“空”“灵”，就是此意。
2. 以“舍”求“得”
“电影中的数列”、“除法中的数列”、“生活中的螺旋线”、“黄金比”…毋庸置疑，每一个都是好材料，但在四十分钟内呈现，未免有应接不暇、匆匆赶场之感。因而，我们思考，是否可以对材料与环节进行选择与取舍，而让体验环节慢下来，让学生自主建立数列、除法、图形之间的关系呢？以材料的“舍”，换取“体验的深入”与“发现的惊诧”。
（浙江 潘红娟）
用数学的眼光欣赏世界
——听唐彩斌老师教学《数学欣赏：螺旋的美妙》有感
欣赏即是享受美好的事物，领略其中的趣味。大千世界，纷繁复杂，无奇不有，时刻变幻。学会了欣赏，可以让你在世间的百花园中陶冶情操、增加情趣。欣赏的角度有很多，学会用数学的眼光欣赏世界便自然会对世界多一份理性的思考，也自觉对大自然生发出一份感叹与敬畏。唐老师引领着学生用数学的眼光去欣赏世界中螺旋的美妙，也引发了我们对于数学欣赏、数学素养、数学教育等问题的思考。
一、数学欣赏中感受别样的美好
欣赏是一种享受，是一种切切切实实的美好的体验，数学欣赏亦应如此。在大自然与数学的联系中获得一种美好的体验，在螺旋的美妙中去体会纷繁世界带给我们的美好。整节课中从神奇的达芬奇密码开启了这一次美好而别样的体验之旅。
欣赏美妙的螺旋、探寻螺旋为什么那么美、应用黄金螺旋线，每一次的经历与体验无一不是感受美好的过程。各种具有强烈视觉冲击的画面带给人美好的体验，一串串神奇的数据又何尝不是一种美好的体验呢。学生在欣赏中去感受美好，又在试图探寻神奇的斐波那契数列背后所隐藏的秘密中不断去体会着美好的感受。
这是一节数学课，更是一次美好而神奇的发现之旅。唐老师的课就这样让孩子们静静地在欣赏与发现数学与世界的联系中感受、积淀着一份别样而独特的美好体验。
二、数学欣赏中联系数学的思考
《螺旋的美妙》不仅是简单的一节数学欣赏课，它也是一节探究课。当运用数学所学知识将欣赏与探究有机结合时，欣赏便更多了一份理性的思考，欣赏的眼光又增加了另一个观察的角度与思维的深度。
螺旋是什么？它是自然奇观，它亦是数列、是图形、是运算。整节课中唐老师引导学生在欣赏的过程中、在数学思考的过程中感受到数与形之间的联系，也发展着学生的空间观念，核心素养在课中自然渗透。同时也在过程中引导学生学会从数学的角度来思考问题。
唐老师在课中引用毕达哥拉斯“万物皆数”的观点：和谐的美感，是由一定的数字比例关系中派生出来的。通过这节课的学习，相信当学生再次欣赏向日葵、松果、仙人掌……时，会在其中笔划螺旋线，会去探究更多的世界中存在的美妙螺旋，会对数学与世界的联系多了一份深切的感悟。
课中有一版块是“欣赏生活中美妙的螺旋”。笔者建议可将原有的丰富的画面作分层处理。第一层面：发现螺旋。出示螺旋比较明显的画面，找共同点，发现螺旋；第二层面：寻找螺旋（螺旋的呈现角度可以是多样的）。多样角度的寻找能让学生不断突破自我，学会调整与改变。第三层面：欣赏螺旋。
如若这样，本课或许需要放慢脚步，适当取舍，让学生有更多思考的时间和空间去欣赏与思考。欣赏也应是慢的艺术。
三、数学欣赏中拓宽教育的视野
李嘉骏老师点评时说：视野决定思路，思路决定出路。唐老师用他宽泛的视野所设计的这一节《螺旋的美妙》为学生打开了一扇窗，让他们看到了更为广阔的新奇世界，激发了他们的探究欲望。同时也拓宽了我们的教育视野，引发了我们对自我工作的反思。
新世纪国际教育视野下的数学课堂究竟应该是怎样的？我们需要更多的关注学生未来成长的需求、更多地为学生的可持续发展助力。
学生在数学学习中不仅需要习得知识技能、思想方法，学会思考与做事。也需要在数学学习过程中不断建立起博大的情怀、独特自在的内心感悟等。数学欣赏课无疑是一个很好的载体，当然还有其它更多的优质数学教学载体。这些载体需要我们不断拓宽视野、与时俱进、具有良好的课程意识才能循序渐进地去寻找与跟进。当然不断学习、学会反思是必须的路径。
唐老师执教的《螺旋的美妙》引领我们用数学的眼光欣赏世界，他的幽默、睿智无疑让学生们眼中的世界更加美好。同时他的大气坦诚更让我们对他又多了一份敬意与欣赏。欣赏他的坦诚，唐老师坦诚地告诉大家课中图片都是在英国学习期间拷备的。笔者猜想他是希望我们更多的开拓眼界，去吸收、借鉴与创造出更好的学习资源为孩子们服务，并进行积极地思考与实践，这是一种教育大家的姿态与境界。
唐老师的课引导我们学会用数学的眼光欣赏世界，也让我们用欣赏的眼光去看他。欣赏他在中外数学课程整合中体现出来的深厚功力，也让我们在对他的欣赏中积淀上进的力量。
（浙江 孙钰红）
有故事且充满活力的课堂
——刘松老师《倍的认识》教学赏析
刘松老师的课堂是他与他的学生们创建的关于“几个几与几倍、比与倍数、整数倍与非整数倍”的故事。回味故事，我们认识和体会到，课堂是学生的课堂，也是学生的重要学习过程，这些在故事中是不能改变的，对故事的想像和演绎留给大家。以下我将带领大家以第三者的视角从两个方面来赏析刘松老师的“幽默睿智、主角配角的和谐课堂”（主持人语）。
一、优质课堂的赏析视角分析
从特色或优势的视角来思考，刘老师的课堂具有语言的魅力、对学生适时适度的即时评价、变与不变的思维情境、注重学生的能力培养和教具运用恰当等许多值得关注和借鉴学习的方面。
1、语言魅力充满整个课堂
这方面主要从语言是思维的外壳或形式来看，而不考虑语言的内容。刘老师的语言抑扬顿挫、模拟学生的语调疑问与回答、体态语言和声音语言的有机配合、适时的停顿都以语言的形式促进和优化了学生的思考，对课堂教学效果以及给观摩者以很大的正向影响力。
2、课堂即时评价贯穿始终
刘老师的课堂评价适度适时幽默，有力的推进了学生的持续思考。针对学生的不同水平的各种表现，刘老师利用专家水平、一般水平的专家、大专家的层次来区分学生的表现优劣；用老师同意或赏识、老师喜欢、老师非常喜欢等不同好低水平来评价孩子的表现状况，而不是常见的各种名不符实的无缘由的过分表扬。仅凭这一点就可以看出刘老师深厚的激发学生学习的教学功底。
3、变与不变的思维情境多样呈现
这是课堂的最大特色之一，也是许多优质课堂的共性特点。通过变化的情境和其中提出的问题引领和促使学生进行数学思考。主要的变化表现在生活素材与数学素材的转换、标准不变引起的倍数的变化、标准变化引起的倍数变化、难与易的变化、抽象与形象的变化。众多的这些变化创造了许多思考的问题情境，有效地引发了学生长时间多次的深入数学思考。
4、学生能力的培养机会多多
在刘老师的课堂上，学生有了更多的参与机会，这些机会培养了学生的表达能力、观察能力、比较能力和反思能力等。这也是刘老师课堂的最大特色之二。表达能力主要是利用问题情境中变化的问题回答来得以提升，刘老师在这方面没有像其他老师那样有很多包办的表达，而是适时适度地进行点拨；观察能力的培养既表现在引导学生观察实物教具又表现在观察在屏幕上千变万化的动态图片的变化；比较能力则是通过标准不变和标准改变等多种情形和过程使得学生的比较能力得到锻炼和提高；反思能力的培养则主要通过老师运用各种包括手势与表情要求每一位站立回答的同学都要问一句“我的回答对吗”或者“你听懂了吗”来体现。另外，还给学生提供了动手能力的机会等。
5、实物教具和课件呈现图片相得益彰
在刘老师的课堂上，明显地运用了实物纸片教具和课件呈现的图片教具，这两种教具各自发挥了自己的优势，有力地帮助学生深入全面思考问题：纸片教具直观易操作形象性强，可以帮助学生在头脑中建立图片映像；图片教具是在前者的基础上发挥了课件的图片易于操作变化快的特点，呈现了许多需要解决的问题，帮助学生加深了对倍的认识，提高了思维的水平。
另外，值得提及的还有两个方面：一是刘老师对学生反应错误的敏感性很强，这样能在课堂上及时反馈学生在倍的认识学习中的问题；二是刘老师还设计了开放题目促使学生进行多角度思考问题。
二、课例研究视角的优化思考
从优化和改进或不足的视角来看，学生的主角空间还可以再提升、还需要考虑学生保持整节课注意力的时间问题。
学生主动性发挥还有更大的空间表现在没有主动地提出自己的问题，这似乎是一个美丽的遗憾。整节课老师用丰富多彩的变化素材呈现的问题控制了学生的思维，学生的反思仅限于对老师给予素材支持下的问题的答案及其正误评判。如果在这种情况下结束课堂，似乎缺少了整体梳理过程而提升到更好方法层次的机会，这也启示我们能否更好地优化已有的教学设计呢？特别是要让学生明确他们刚刚经历过的“倍的认识”的学习路线图，以及挖掘其中蕴含的规律性的方法。
与此相关的一个问题是，作为二年级的学生（一般是8周岁），能否在整节课中一直保持高度的注意力？或者说，这样长时间让学生处于高度紧张的思维状态能否常态化，这似乎又是一个这样一类课堂的美丽遗憾，也许本节课中看不到学生的疲劳，但这是不得不需要从学生的视角思考和改进的问题。如何压缩教学的素材或者给学生更多的自主安排的时间来设计一下学生课堂学习的内容和节奏呢？特别是精心地选择和组织素材以达到少而精和学生更多的思考机会，以及在一节课的时间内设计有张有弛的学习节奏以尽可能减少学生的疲劳。
对这两个问题的回答，似乎非此即彼的思维方式无法解决，在解释上也许能用教育的艺术性模糊蒙混过关，但确实是一个需要动态把控处理的实践问题，是需要在新常态课堂建设中不可回避的值得研究的现实问题。
（山东 郑庆全）
得法功倍
——评刘松老师执教的《倍的认识》
走进2016年“千课万人”小学数学新常态的课堂，扑面而来的不仅是烟雨杭州的多彩多姿，更是教育工作者对课堂变革的理性思考与实践探索。观课学习，收获颇丰。今天刘松老师执教《倍的认识》一课，尽管是很多教师都反复上过的课，刘老师却能另辟蹊径，以生为本，引领着二年级的学生超越生活经验，欣然进入数学世界，给了我们很多启发：
一、引导得法，激活经验。
概念教学，重在把握其本质。“倍”的概念，其本质是两个数量之间的关系，这个关系是比率关系。在此之前，学生能比较出数量的加减关系；学生对“倍”的认识，就是建立一种新的比较，比较的是乘法关系。开课之初，刘老师让三个小朋友比个子的高矮，唤醒学生已有的“比多少”的经验，通过“比”，聚焦到数量关系的比较上。接着，教师还是由学生的基础出发，引导学生对黄花与红花数量进行比较，从“同样多”，“多1个”，“多2个”“多3个”等等，顺势而行，明确告诉学生，对于两个数量之间的关系，还可以用“倍”表示，建立“倍”的概念。在整节课的教学中，学生主动建构着自己的知识架构，老师陪伴着学生认识“倍”的概念，课堂上出现了很多让人回味的片段，如：刘老师问“红花是黄花的3倍，你是怎么看出来的？”学生是这样回答的：“红花这样（3个）圈一圈，再圈一圈，再圈一圈，就是黄花的3倍”，说得真好，想的更好！学生能看出来，还能说出来，就是引导得法，学生独立思考，建立学习自信，更加积极主动地学习数学。整节课，刘老师引导学生深入思考，循序渐进，让学生扎扎实实地经历概念建立的过程，让学习的形式为内容服务，通过数学知识的学习培养理性精神。
二、精选素材，激活思维。
新常态的小学数学课教学，学习素材的设计十分重要。在这节课中，刘老师精心设计了学习素材：在建立“倍”的概念时是用的黄花和红花作为素材，呈现方式上是分两排对比，便于学生建立直观模型进行比较，从而“看出”两者之间的关系，“说出”自己的观点。在巩固“倍”的概念时，有三个不同的层次：一是对黄花与红花进行抽象，变成集合圈呈现，突出1倍与几倍的关系；二是将集合圈在转化为长方形、正方形，并且变换颜色，让学生感受到两个数量呈现形式变化了，倍的关系没变；三是花的总数不变，黄花与红花的数量变化了，倍数关系也在变化。正是在变与不变中，让学生体会到事物之间的辩证关系，对数学学习更有兴趣。本节课，教师没有刻意去营造生活情境，而是选取了黄花和红花作为基本的学习素材，让学生经历“比一比”、“说一说”、“圈一圈”等活动，积累数学经验。都说“语言是思维的体操”，学生在本节课中，“说”的十分充分，有指名说、同位说、小组说、全班说等多种方式，学生用稚嫩的话语表达了自己的数学思考，说的过程，就是学生展示思维的过程，就是培养良好思维品质形成的过程。
费尔巴哈曾说过：“理论不能解决的问题，实践将为你解决。”刘松老师在教学中，遵循学生的认知规律，了解学生已有的知识与经验，对教学的结构有整体的视野，因此，无论是在教学环节的设计上，还是在教学过程的把握上，体现了新常态课堂的特点，是一节一线教师可以在常态教学中借鉴实施的课。
（湖北 关 蓓）
善于举例善于提问善于比较与优化
——我看张齐华老师的《百分数的意义》一课
花有色香味，人有才情趣。张齐华老师是有才华有情趣之人，课上得如此鲜活生动，让我们学到了“活的教育学”。细想一下，他的课如此受欢迎，跟他扎实的基本功是分不开的。
那么，数学教师，除了应具备一般教师的教育素质，还应该具备哪些特殊的技能，特别的基本功呢?南京大学哲学系教授、博士生导师郑毓信认为数学教师的“三项基本功”是：（1）善于举例; （2）善于提问; （3）善于比较与优化。
我们不妨透过这节课来看看张齐华老师的三项基本功。
一、善于举例
看看，他都举了一些什么样的例子？
例1：一件衣服的含棉量是98%；啤酒中酒精含量占4%——熟悉的才亲切；
例2：儿童身体中水的含量是80%；成人身体中水的含量是60%；老年人身体中水的含量只有50%。都说是“水灵灵的孩子”，你有见过“水灵灵的老人”吗？——幽默的才有趣；
例3：地球上陆地面积大约占29%——环保意识；
例4：地球上的水资源，海水占了97.3%，淡水只占2.7%。在这么少的淡水中也只有0.4%能食用，就在这0.4%的淡水中，67.8%已经被污染。小心“地球上最后的一滴水是人的眼泪”——危机意识。
二、善于提问
学起于思，思源于疑。教师的提问是一项设疑、激趣、引思的综合性教学艺术，它既是教师素质的体现（诸如知识面、驾驭教材、洞察力、控制场面的能力等等），更是教师教学观念的体现。
精彩的提问是诱发学生思维的发动机。
听听，他是怎样问的？
1.问得有趣
典型问题1：你觉得百分数会说话吗？——拟人
典型问题2：说说你对这个百分数的感觉？——感性
典型问题3：为什么“喝酒不抽烟，抽烟不喝酒（浓度达98%的酒）”？——幽默
有人说：小学数学不仅仅姓“数”，更重要的是姓“小”。张老师很好地研究小学生学习数学知识的心理。问题问得如此生动有趣，学生当然学得兴趣盎然，欲罢不能。
2.问得精准
典型问题：写三个百分数，看谁写得很特别？——精准的问题具有引领作用。
我的解读：说起百分数，很容易想到的是如39%这样的百分数——分子小于100。要求学生写得特别，就是要求写得“与众不同”，学生自然就会跳出思维定势束缚。果然，在汇报中，学生们想到了3.75%、140%这样的分子是小数、大于100的百分数。
可见张老师在备课时，善于将自己的思维稚化、降格，倒退到学生原始的思维水平上去。以陌生感、新鲜感（尽管这个问题已经多次遇到过了），更多地从学生的思维角度、思维习惯和方法去体验：学生是怎么想这个问题的？可能会遇到什么思维定势？……这样师生双方的思维活动能够和谐相容，同步协调地进行。
3.问得深刻
典型问题：百分数的读法、写法、意义、用途，这四个问题，哪几个问题比较简单可以自己学会，哪几个问题有点困难要通过小组学习才能学会？——有详有略，重点明确，取舍得当。
三、善于比较优化
想想，他是怎样比较优化的？
1.横向拓展
在教学过程中，张老师几次帮助学生开阔视野，拓展思路，给学生以智慧的启迪。比如有这样的链接：
（1）学生了解到啤酒的酒精含量是4%，一般白酒的酒精含量是38%，学生们都认为白酒的酒精含量不可能是选项中的97.3%。张老师趁机介绍了俄罗斯的伏特加酒，酒精含量居然高达98%！顺便解释了“喝酒不抽烟，抽烟不喝酒（高浓度的酒）”现象。
（2）张老师出示爱迪生名言：天才就是1%的天分加99%汗水。一般人只知道这前半句，这样容易断章取义。素不知，爱迪生的这句话后面还跟着重要的一句：但这1%的天分有时却比99%的汗水更重要。——一波三折，话锋一转，意思全变了。
话说到这里，有少数学生有些气馁，因为他们觉得自己的天分不是那么好。紧接着，张老师补充一句：每个人都有那1%的天分，有人是语言文字，有人是逻辑思维，有人是科技创造......只不过每个人的天分不同而已，最重要的是及时发现、培养。——多好的老师！好的老师情商很高，善解人意，善于鼓动，绝不让一个学生失望、气馁、放弃。
《礼记·学记》中的“善歌者使人继其声。善教者使人继其志。”说的是善于唱歌的人和善于教学的人有一个共同的特点，那就是善于鼓动人，能够感动人心。张老师就是这样的“善教者”。
2.纵向突破
这节课始终抓住一个核心问题：百分数和分数的区别在哪里？为什么有了分数之后还要百分数？如在练习“鸽子肉中的蛋白质含量大约占84%”后，出示鸡肉、牛肉、羊肉中的蛋白质含量为：23%、20%、18%这样一组百分数，还出示了对应的一组分数：23/100、1/5、9/50。在一次次的对比中，百分数的优势得以显现。
就让我们苦练三项基本功，做一个像张老师那样深受学生欢迎的好老师吧！
（浙江 杨迎冬）
学生站在课堂的正中央
——张齐华老师《会说话的百分数》教学赏析
听了张齐华老师教学《百分数的意义》，“学生立场”在第一时间跳出脑海。课堂中，学生收集材料、学生提问、学生回答，学生尝试、学生评价、学生争辩……，在自主、合作、交流中推动着教学进程，慢慢抵达数学概念的本质，学生始终站在课堂的正中央。
而张老师的表现呢，让我想起帕克·帕尔默的《教学勇气》中的一段话：当我教得最好的时候，我就像牧羊犬。“牧羊犬”有四种重要的功能，它维持一个使羊群能放牧和自己吃草的空间；它把羊群聚集在那个空间之中，不停地把走失的羊群找回来；它保护空间的边界并把危险的掠夺者阻拦在外；当放牧的草原上的草吃完了，它和羊一起转移到另外一个可以得到它们需要的食物的空间。是的，张老师就是最出色的“牧羊犬”，引领羊群来到有食物的牧场，让他们自己喂饱自己。
整体感受之余，细细品味，也颇多启迪，记录几点与大家分享。
一、教师心中有一个广阔、丰盛的牧场
《百分数的意义》是一节经典课，不少名师都用自己的课堂诠释着对“百分数认识”的独特理解。有的从投篮命中率引入，由于投篮数各不相同，要通分或者化成小数，凸显百分数便于比较的统计意义；有的重点突出让学生感受不同情境中百分数的取值范围，哪些情况的百分数小于100%，什么时候会超过100%。还有的……，很多创见和举措已被一线教师认可和效仿。紧跟张老师40分钟的课堂，能体会到张老师胸中有丘壑，心中有一个广袤的牧场。对于“认识百分数”有了细化且丰富的目标，包括百分数的读法、写法；解释生活中某个百分数的具体意义；百分数的外延（百分号前面不同形式的数）；用百分数描述生活现象；分数与百分数的联系与区别；百分数的价值等等。可见，课堂指向概念理解的目标已然全面。此外，张老师还关注学习方法、品质的培养，课上张老师这样说：“请每位同学写3个百分数，要求又对又特别”，张老师还说：“四人小组交流时，要认真倾听同学的观点，回头你要觉得有补充，你可以说：对这个问题还可以这样理解”；张老师还多次强调“既要说出想法，更要说明理由”……为的是让学生学会倾听、学会交流、学会整理，使思维更加全面、更加严密、更加深刻，这不就是上午郑毓信教授谈及的“核心素养”吗？概念理解作为课堂主线，而思维品质的养成潜藏其中，不觉为之喝彩！
二、通过合作交流，自主抵达青葱牧场
四人小组合作，成为本节课主要学习方式。回顾整个学习过程，前后有四次小组合作。
第一次合作，任务：结合你自己找的百分数及老师带来的三个百分数（一件衣服含棉量98%；鸽子肉中蛋白质含量大约是84%；地球上陆地面积占29%），自主学习百分数的读法、写法。
通过组内交流，学生都认为会读会写之时，张老师坚守“规范”，板书示范百分号的书写顺序。
第二次合作，任务：结合老师提供的三个百分数，研究它们的意义。
学生能用自己的语言表达对百分数的理解，如一件衣服含棉量98%，有的说“把一件衣服平均分成100份，棉占了98份”，有的说“棉占整件衣服的98/100”。
待充分表达三个百分数的具体意义后，张老师精心设问：观察这三个百分数，有什么共同的地方？引导学生理解“都是表示一个数占另一个数的百分之几”，从具体意义理解到达概念的抽象。
第三次合作，任务：都说百分数会说话，再次看看这三个百分数，还能读出什么。
第四次合作，任务：从7个百分数中选择合适的，填进三个情境之中。
在合作交流中，学生负责思考交流，教师负责煽风点火，教师眼中是学生，学生心中有数学。课堂上，学生见识广博，能言善思，主动出击，探求本质，彰显个性，不乏精辟绝妙之高见；张老师时而细致示范，时而乘胜追击，时而及时追问，时而故作恍然，尽显四两拨千斤的功力。
三、关注数感培养，使概念理解向纵深转场
在学生已经没有问题的地方，能提出有价值、有思维含量、有效促进学生深度学习的目标，是教师的价值使命。课堂上，当学生理解三个百分数的具体意义，并找到共同点，抽象出“百分数是表示一个数占另一个数的百分之几”的概念时，似乎尘埃落定、大功告成。然而，张老师寻找到了食物更为丰盛的 “牧场”，让孩子们向纵深探索。在我看来，这个“牧场”就是数感的培养。关于“数”与“数感”，史宁中教授如是说：数是对数量的抽象，抽象的核心是舍去现实的背景；数感是对数的感悟，感悟的核心是回归现实背景。后半节课，张老师在“数感”上做足文章，一次次让百分数与现实情境相遇，百分数就会说话了，而孩子们也就有话可说。
如：张老师第二次让学生读读三个百分数的意义时，学生就有如下表达：
衣服含棉量98%，说明这件衣服含棉量很高，接近纯棉；
鸽子肉比较贵，因为它的蛋白质含量84%，很高，有营养，所以贵。
又如:根据情境选择合适的百分数，孩子们对百分数的理解更加自然，更接地气。下面是学生的表达：
啤酒在西方是饮料，就会经常喝，所以它的酒精含量不能高，只能选4%；
如果是白酒，酒精含量可能是38%、45%、60%，不可能是150%，也不太可能是97.3%；
讨论“酒精含量98%的白酒”，学生说不能边抽烟，边喝酒，否则会“噗”一声烧着了；
根据成年人含水量是60%，猜测老人和小孩的含水量。学生说“老人的皮肤皱巴巴，说明含水量少，大约是30%；小孩子嘛水汪汪的，含水量会有90%。
课末，张老师还结合长方形面积图呈现水资源的信息：海水97.3%、淡水2.7%，能食用的水占淡水的0.4%，其中还有67.8%被污染了。相信孩子们对这一系列的百分数的意义、大小、关系有了更为丰富的感受，同时对“地球上最后一滴水就是人类的眼泪”会有深刻的理解。
孩子站在课堂的正中央，深入思考，真实表达；教师充满信任和期待，静静倾听，轻轻点拨。课堂学习如此自然，如此美好，感谢张老师！
（浙江 田小勤）
行到水穷处，坐看云起时
——赏强震球老师《钉子板上的多边形》有感
“用一颗本真、自然的心守望孩子们，守望孩子们和我的课堂！”这是强老师对学生的爱，对课堂的爱，对事业的爱在《钉子板上的多边形》的真实写照！这一实践活动课，强老师既要引领孩子们得出结论，更要引领孩子们积累数学实践活动经验；既要培养孩子科学严谨的数学态度，善于发现的数学眼光，还要培养孩子归纳概括的数学能力……如此高难度的“任务”，孩子们却在强老师的引领下完整地体验了知识的生长过程，完整地经历了知识的发展过程，不仅领略了数学带给的情趣，更重要的是享受了数学带来的理趣，“行到水穷处，坐看云起时”，孩子们的探索，正是“最清晰的脚印，印在最泥泞的路上”。
一、明明白白我的心，渴望一份真感情。
“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为解决一个问题也许只是一个数学上或实验上的技巧问题，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”这是爱因斯坦的名言，当然也是新课标中所关注的“四能”目标。
我们不妨来回顾强老师是怎么引领学生经历问题解决的完整过程，品赏强老师是怎样让孩子“发现问题、提出问题”的。
开门见山，简单回顾导入出示：
师：钉子板上这些多边形的面积你会求一求吗？
生：1号图：（上底＋下底 ）×高÷2 ＝3平方厘米
师：你还有其它方法吗？
生：可以用割补法。
师：照她的意思是不是就是可以数格子？（课件演示数1号。你能用这样的方法很快数出2号、3号多边形面积吗？（学生汇报）
师：这些图形都是在钉子板上用钉子围起来的。刚才我们算的也好，数的也好，你想一想，感觉一下，钉子板上多边形的面积和什么有关系呢？
生：我觉得钉子板上多边形的面积与钉子数有关系。（学生鼓掌并重复）
师：你们看围成的这些多边形不仅边上有钉子，哪里也有钉子？
生：图形中间也有钉子。
师：多边形的面积仅仅与边上的钉子数有关吗？谁能用不仅——而且说说？
生：钉子板上多边形的面积不仅与多边形边上钉子数有关，而且与多边形里 边的钉子数有关。
师：这节课想不想把这个规律找出来？那你们准备先怎么办？
生：总得先把边上的钉子数与里面的钉子数出来。（完成板书）
师：现在再看看面积到底与钉子数有什么关系？
三位学生都说没看出来
师：没看出来的举手？
学生几乎都举起手。
“知之为知之，不知为不知，是知也！”为“没看出来”、尤其是为“没看出来却勇敢地举手说没看出来”而骄傲，这就是强老师的本真而自然！12分钟的时间，竟然让学生得出“不知道”的结论，这就是一颗“守望”的心，教育是“激励、鼓舞”，更是“唤醒”！这时的孩子们绝不会为“没看出来”而懊恼，他们的内心一定憋着一口气，对问题解决充满了期待和憧憬！
二、这就是爱，他再累也不觉得苦。
“不愤不启，不悱不发”！启发学生思考的最好的办法就是教师与学生一起思考，一起发现和提出问题，一起分析和解决问题。教师要明白教学中为什么要提出这些问题供孩子思考，其艺术就是要设法让孩子充分暴露自己的思考路径，让孩子探求可以从哪些方面、哪些角度来分析问题，解决了这个问题又可以提出哪些新的问题。
我们再来欣赏强老师是如何引领学生分析问题，解决问题，从而体现“从头到尾”思考问题的理念。
师：强老师告诉大家，实际上强老师一开始研究的时候也是没有看出来的。那到底碰到什么问题呢？有什么难处呢？
4人小组合作讨论
生：（边上的钉子数＋里面的钉子数）÷2，符合2号，但是其它不符合。
生：例子太少。
生：边上的与里面都要研究太难。
生：如果只研究其中一个因素，可能就不难了，两方面都考虑太难了。
师：两个因素同时研究难，你们说怎么办？
生：把两个因素分开来研究，只研究其中一个因素。
师：那你认为研究边上的钉子数还是里面的钉子数？
生：边上的钉子数。
师：为什么要先研究边上的钉子数与面积的关系？
生：我觉得边上的钉子数研究更容易一些。
生：我们在钉子板上围面积，图形不可能说里面有钉子，边上没有的。
师：是呀！研究问题的时候，总是先从容易的开始，再研究复杂的。那边上的钉子数从几颗研究开始起呢？里面从几颗开始研究呢？
生：3颗。
师：为什么不从1颗、2颗开始呢？
生：围不起多边形，没有面积。
学生独立探究，并汇报（课件出示）：
生：每增加一颗钉子，面积就增加0.5。
课件动画演示验证（以三角形为0.5单位面积）。
生：我发现了面积＝（边上的钉子数－2）×0.5
师：对着这个关系看一看，是不是所有的都符合？如果边上的钉子数是10，面积是多少？ （生答课件验证）
师：为什么减2呢？你能想明白这事情吗？
……
一切是那么的自然，那么的水到渠成！这时候，课堂已经足足过了30分钟，甚至可以说前29分钟都是学生在经历观察、猜测、验证、调整、结论等探究过程，而得出结论恰似灵感与顿悟，接着学生发现“面积＝（边上的钉子数－2）×0.5＋里面的钉子数”同样变得轻而易举！这就是“先慢后快”的真实探究，慢，显性表现在学生探究过程充满艰辛，道路曲折坎坷，花费的时间较长；隐性表现在学生的“悟”不是—次性完成的，而有一个反复的过程，最后在“几度风雨”中渐人佳境；快，表现在当学生感受成功喜悦之际，恍然大悟，丰富的“活动经验”让他得出结论游刃有余，这种过程，愈久弥香，恰如陈年老酒。
三、如果你愿意，请让我靠近，你的心事有我愿意听。
笔者认为，本课还要值得一提的是，强老师是怎么来“用教材”的！强老师并没有使用课本中的钉子板上多边形（里边有一颗）教学，一开始采用的是富有挑战性的钉子板上的多边形（里面的钉子颗数不同），而探究却使用的是蹲到“地平线”上的钉子板上多边形（里面没有钉子颗数）。强老师给笔者的启迪是教师要创造性地使用教材，就要融入自己的科学精神和智慧，对教材知识进行重组和整合，选取更好的内容进行深加工，有效地激活教材，形成有教师教学个性的教材知识。具有个性的学习内容应该是既要有能力把问题阐述清楚、深刻，也要有能力引导学生去探索、质疑、交流、解疑，从而自主形成知识网络，发展思维的素材。让学生在一个看似“普通”的任务中，感受数学是一种推理活动，是一个建立联系的过程。知识不在于多，而在于“联”。实际教学中，孩子们互相沟通，相互影响，相互补充，达到了共识、共享、共进。虽然知识的获得是主体内部的自我建构，然而恰恰是有个性化的学习内容让这种建构不是封闭的，而是在集体这“环境”作用下自主探究、合作学习完成的。改变数学教学方法最大的困难之一，就是要让学生置身于适宜的数学学习过程中。而强老师真是研究了学生现实水平，立足现实水平，挑战潜在水平，从而形成有个性的学习内容，让教材成为教学的保障。
用心倾听学生的内心，用心倾听教材的内涵。强老师还舍弃了教材中的“符号意识”，却增加了更有数学味的验证，用动画的三角形做“单位”来验证“不完全归纳”得出的结论，这是一种数学的科学而理性的思考，一一对应，极限思想。“会当凌绝顶，一览众山小”。强老师，你真是用教材的好手！
（浙江 李加汉）
着眼于问题解决全过程的教学
——强震球老师《钉子板上的多边形》教学赏析
《钉子板上的多边形》是苏教版教材修订后新增的一个内容。研究这一问题的目的在于，通过探究关于格点多边形面积的皮克定理，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程。并在这一过程中初步体会研究问题的基本方法。强震球老师的教学，正是着眼于这一解决问题的全过程。
首先，从特例中发现并提出问题。教师出示如下图所示的三个格点多边形，在用面积公式或割补法求出它们的面积后，教师引导学生思考：这些多边形都是在钉子板上围成的，你猜猜他们的面积会与什么有关呢？学生凭直觉猜测出与钉子数有关。在教师的进一步引导下，学生猜测出格点多边形的面积不但与边上的格点数有关，而且与多边形内的格点数有关。这事实上是在对当前的特殊情形一般化后，提出的一个一般问题：格点多边形的面积与多边形边上的格点数以及多边形内部的格点数之间有什么关系？为接下来的探究确定了明确的目标。
其次，注重对探究问题的方法的指导。在提出一般问题之后，我们通常是通过特殊化来研究并解决问题。即通过对特例的观察、归纳，以得出一般的结论。这即是强老师所谓由易到难。同时，强老师也清楚的意识到，若仅仅是简单的通过对特例的观察，是很难解决本问题的。其主要的困难在于本问题涉及两个因素——多边形内格点和多边形边上的格点。因此，简单的特殊化并不能解决问题，要进行所谓“系统的特殊化”，具体到本问题而言，就是“分离变量”或“控制变量”，即固定其中的一个变量，让另一个变量发生变化，从而观察目标值与该变量的关系。值得提出的是，在教学过程中，“多变量”这一困难的发现及“控制变量”这一思路的提出，都源于学生。用学生的话说:“有两种因素，比较难办，如果只研究边上的钉子数与面积的关系就好办，举几个例子就好，但现在要权衡一下，就有点难了。”
“我觉得可以先只研究一个因素”。
第三，巧妙的从多边形内格点数为0过渡到一般情况。在学生研究出多边形内格数为0时，多边形面积与边上格点数的关系后，按常规的思路，应该着手观察多边形内格点数的变化，进一步归纳出一般结论。在本课中，强老师另辟蹊径，提出“边上的点贡献的面积”与“里面的点贡献的面积”一说。将学生归纳出的当内部格点为0时，边上的点数与面积的关系大胆的应用于多边形内格点数不为0的多边形。得到如下的结果：
对于这几个多边形，若内部的格点数为0，边上的点不变，则面积应分别为2，3.5和3.5。现注意到它们内部的格点分别为1、2、3个，而实际面积分别为3、5.5和6.5，相差的数正好为内部格点数，从而发现每个内部的格点贡献一个单位的面积。在此基础上进一步概括出面积公式。在这一过程中，学生自主研究的成分稍稍弱化了一点，但从教师的引导来看，仍不失其巧妙。
此外，强老师在本课教学中，特别注重多角度丰富学生对皮克定理的认识。在初步归纳出皮克公式后，一方面，通过进一步的特例检验这一公式的正确性。另一方面，赋予皮克公式中的常数以几何意义。比如之所以乘0.5（或除以2）,是因为每增加一个边上的点，就相当于增加一个小三角形，如下图所示（本图只是一个连续动画的一部分。老师通过动画，显示从图1变到图4的过程。这一方面是边上格点逐次增加1有过程，另一方面也是逐次增加一个小三角形的过程，从而也就是面积逐次增加0.5的过程）。通过这一动画，丰富了学生对于皮克公式中乘0.5（或除以2）的直观认识。
又比如，通过引导学生思考：因为一个点，两个点为都不能构成有面积的图形，所以皮上的点要减2。让学生从直观上认识到皮克公式中“-2”的几何意义。所有这些，都有效的丰富了学生对皮克公式的认识。
在此，笔者也提出关于本课的两个不成熟看法。
其一、对研究问题的整理和概括稍显简单。本课中，我们最终整理出的问题是：格点多边形的面积，既与内部的点数有关，也与边上的点数有关，我们需要研究具体是什么关系。但客观的说，整理出这一问题，并不简单。在教学实践中，第一个学生提出的是面积与钉子数有关，第二个学生进一步提出与“绳子碰到的钉子数”有关（事实上就是边上的钉子数）。教师旋即提出：有边上的点，也有内部的点，面积仅仅与边上的点有关吗？你能用“不但……而且”来说说这种关系吗？就这样得出了最后的问题与猜想。或许是限于时间，在这一过程中，强老师并没有让学生的思路充分展开。事实上，先提出与钉子数有关，再提出与边上的钉子数有关，再将钉子数进一步分类，而且恰恰是两类（边上的点和里面的点），而不是三类（边上的点，顶点和内部的点）。这里面都有丰富的思维过程。比如，面积是只与边上的钉子数有关还是不然，一方面可以凭直觉猜测，另一方面，也可以利用眼前的材料初步判断。事实上，教师提供的图2和图3，边上的点相同（都是9），但面积不同。这就充分说明面积不仅仅与边上的钉子数有关。
其二、研究问题的方法或程序，教师似乎引导稍多。事实上，当有学生提出可以先研究“一个因素”时，教师即指出了具体的研究途径，并立即带领学生进入了具体的研究过程。对研究问题的过程的整体讨论稍欠。似乎应该让学生明白：我们的策略是先固定一个变量（至于固定哪一个，是象今天这样固定边上的点还是固定里面的点，其实并不重要。只是若先固定边上的点，则应该从边上3个点开始考虑，即先研究边上有三个点的多边形（三角形），面积如何随内部格点的变化而变化），再研究目标值是如何随着另一个变量的变化而变化的。在这一整体思路的指导下，具体的例或可以由学生分小组自由选择。
当然，正如大家所知道的，皮克定理直到1899年才发表，至今不过100多年。一个如此漂亮的初等几何的结论，居然逃过了此前如此多的数学天才的目光，可见发现它并不容易。让十来岁的孩子利用一节课的时间来研究，显然只能重复其发现过程中的“关键几步”，取舍是必要的，教师的介入也是必要的。如何取舍，何时介入，体现了教师个人的价值判断。正是这种不同的价值判断成就了丰富的课堂教学实践，从而体现了课堂教学作为一种的艺术的特征。
(湖南 张新春)
在简约中创新教学的发展
观贲友林老师《统计总复习》一课有感
常态是现实一线数学教师日常教学的本质。如何基于常态上出不一般的课堂教学，这是我们数学教师所追求的，也是“新常态”的希望所在。“年年岁岁花相似，岁岁年年人不同”。而对于小学数学教学，老师们日复一日、年复一年重复着教学活动，这种重复劳动如果缺少变化就会使工作成为一种负担。为此，我们需要建立新常态的一种价值追求。
复习课是教学的常态课，很多老师不愿意拿出来展示，究其原因更多的老师认为上不出新意，缺少模式的推动，久而久之成为被教师“遗忘”的领域。为此，这种常态课的创新教学行动是我们教师所需要的，贲友林老师的《统计总复习》为我们的新常态课堂提供了很好的示例。
一方面，贲老师重视复习课的核心要素的培养。通过课前的复习整理单：（1）在小学里学过哪些“统计”知识、方法，我的整理如下；（2）从报刊杂志、电视、网络等媒体中收集一份统计图（表），从收集的统计图（表）中，获得哪些数据信息？让学生经历自主整理知识与方法的过程，也是培养学生回顾与反思的意识与能力的主要途径和方法。
在此基础上，教师能有机地将复习的内容——“统计”的核心要素通过学生的实践活动而再次呈现，学生经历了“收集数据——整理数据——分析数据”的方法与过程，帮助学生加深理解了统计的意义，达到了复习的目的。这种知识的梳理与运用是复习课的重要环节和手段。较好地体现了“以学为中心”的数学课堂，无华丽的课件，而是朴实、简单的练习纸和Excel，学生学得主动、积极而有意义，培养了学生的核心素养。
另一方面，教师创新设计简洁而有效的情景，在教学中引导学生经历完整的收集、整理、描述和分析数据的过程，发展数据分析观念。
复习课往往是被教学展示遗忘的角落，老师们不知道怎样才能上出复习课的特色，怎样才能上出新的气息、构建新的常态。这种“新”不在于新奇而哗众取宠，而在于简约而不简单。于是，贲老师以计算活动为题材，让学生感受统计就在身边，并以此贯穿复习的始终。上课开始教师设计了5道灵活计算的练习（每道20分，共100分），然后让学生从得分、等级、完成时间等方面来经历收集、整理、分析数据的活动全过程。看似简便计算，却创生出统计的全过程，可谓独具匠心。创设这样一个活动情境，并通过从情境中提出问题，感悟统计活动的目的，使学生从内心感受到有必要去进行统计，很自然的进入了调查统计后的收集数据、整理数据、分析数据的环节，使学生对所学知识在认识上有一个新的提升，从而达到从知识到能力的一个飞跃。
贲友林老师《统计总复习》一课的设计,完整让学生经历一个统计的过程,而不是一个统计的片断,把学生已学的统计知识串联起来,用到生活中去,真正体现了数学来源于生活用于生活。而多数复习课都会以练习或问题为主,那么我们的老师希望什么样的学生来回答问题呢？我们每天的数学课堂都是由不同的数学问题组成的，而全体学生的数学素养是参差不齐的，往往在我们数学课堂当中，数学素养好的学生就喜欢发言，那你的课堂是不是就让这些数学素养好的学生来主导课堂呢？可见，贲老师这样设计真正体现了关注不同学生的学习发展。
当然，我们还是要思考常态课教学的效率问题。贲老师虽然以一组计算题为载体展开统计的复习，但是化10余分钟时间的计算活动是否弱化了统计总复习应达到的要求；复习课不仅是知识梳理，还要有基于学生的查漏补缺与学习水平的提升与发展。如果要关注这一计算活动，只能说贲老师整合了简便计算与统计的复习。其二，系列题组有助于教学的展开，也容易给我们带来新授课的复习味道；我们静下心来思考，学生静静地解决知识的运用问题有多少呢？值得我们反思。
教无定法，关键在于得法。贲老师这种复习课的创新设计给我们带来了新的思考和探索！
（浙江 陈亚明）
复习，让数学教学更具生长力！
——贲友林老师《统计复习》教学赏析
根据学生的认知特点和认知规律，“复习”是学生学习过程中的一个不可缺少的重要环节。及时、有效的“复习”，不仅可以引导和帮助学生对已学知识进行巩固和梳理，而且能及时发现存在的问题进行查漏和补缺，“学而时习之，不亦说乎？”学生还能在其中获得良好的情感体验，所以，复习是学生学习过程中有价值的“驻足回望”。同时，复习也是为了让学生的学习更好的“扬帆远航”。“温故而知新”，“温故”是为了更好的“知新”，学生通过复习巩固知识，加强应用，积累经验，反省内化进而生成智慧。所以，复习既是“回望过去”，更是“面向未来”。
正因如此，很多老师对复习课都选择了“躲避”，针对“统计”知识的复习课则更是选择了“逃避”。而贲友林老师却“迎难而上”，以他的睿智、深刻、沉稳、老练为我们呈现了一节厚重的、有生长力的“统计复习”课，值得我们认真学习和借鉴。
巩固知识
对基本知识的巩固和梳理是复习课教学的重要任务，也是开展后续学习活动的基础和保障。本节课，贲老师通过课前整理——在小学里，你学过哪些“统计”的知识和方法？课中交流——说到统计，你想到了什么？将学生学过的有关统计图、表的名称、分类、特点及作用等进行了系统的回顾和梳理，为下面的拓展和提升做好了充分的铺垫。
沟通联系
数学知识的内在联系是非常紧密的。通过复习，应该把平时课时教学中相对“零散”的知识给“串”起来，让学生不仅看到知识间的联系，还要感悟到知识在联系中的不断发展。本节课，贲老师的板书设计很自然地织就了这样一张知识结构图：以“统计”的全过程为主线，将学过的统计图、统计表归属于“描述数据”的统计环节中，让学生更清晰地感受到了统计图、表在整个统计过程中的地位和作用，感悟到了知识间的联系和发展。
积累经验
针对“统计”的教学，课标给出了这样的建议：“设计有效的统计活动，使学生经历完整的统计过程，包括收集数据、整理数据、展示数据、从数据中提取信息，并利用这些信息说明问题。学生在这样的过程中，不断积累统计活动经验，加深理解统计思想与方法。”
贲老师的这节课，是对上述理念的深度解读和创新实践。通过对“计算”的相关情况的统计，让学生亲历了产生、收集、整理、展示、描述、分析数据的全过程。这个过程中，学生不仅仅是应用了统计的知识，掌握了统计的方法，加强了数据分析观念，更重要的是积累了宝贵的统计活动经验，这对学生的学生的学习终身有益。
拓展思维
复习，不同于新授，通过复习要将学生的数学思维得到一定的拓展和提升，这也是复习教学的一个目标和方向。本节课，贲老师在“描述数据”的环节中有意设计了思维的“门槛”——“要想了解全班的做题情况，除了统计得分，我们还可以统计什么？”此问题一下子拓宽了学生的思维，让学生对“做题的时间”、“做题的对错”等情况也产生了统计的需要，在学习过程中，自然也思考到了面对不同的问题，灵活选择不同的描述数据的方法，三种统计图的作用在本环节学习中发挥得淋漓尽致。较好地培养了学生思维的全面性和深刻性。
生长智慧
好的数学复习，能够让学生收获知识，掌握技能，感悟思想，积累经验，获取方法，更能够让学生获得启示，体验愉悦，燃起热情……进而生长成新的智慧。本节课中，贲老师通过电脑演示，让学生感受到：除了我们学习到的三种统计图，实际应用中还有更多种类的统计图；复式条形统计图除了我们见到的“并排型”的，还有“对接型”的；对于像“×”这样的特殊“扇形统计图”，我们可不能被现象所迷惑等等。学生对于“统计”产生的这些“新的认识”，足以燃起他们新的学习热情，增长新的学习智慧……
因此，要让复习课充满生长的力量，这是我们应该追求的目标和努力的方向！
感谢贲老师的精彩课堂带给我们的思考！感谢千课万人给我们提供如此宝贵的学习机会！
（河南 张红娜）
学员课评
关注学习起点 把握数学本质
——张齐华老师《百分数的意义》一课赏析
听张齐华老师的课是一种享受，课堂上他那“幽默风趣、潇洒自在、满腹活力”留给广大教师深刻的印象，我们感慨、我们钦佩张老师的课堂艺术！今天，又一次有幸聆听他带来的智慧型课堂《百分数的意义》，感受颇多。
一、基于起点，激活经验
百分数在生活中有着广泛的运用，现在大多数学生也接触过百分数。张老师基于学生的学习起点，在课的一开始，他诙谐幽默地揭示今天所要学习的课题——“会说话的百分数”，调动起学生的学习热情；明确从读法、写法、意义及用处认识百分数，并让学生明白这也是认识数的一般渠道。对于百分数的读法、写法，张老师让学生通过四人组内同伴相互学习，抓住学生易错点，强调百分号的写法。紧接着迅速进入学习百分数的意义重要环节。课前，张老师让学生们在现实生活中收集百分数，同时呈现自己收集的学生较为熟悉的百分数：（1）一件衣服的含棉量是98%，（2）鸽子肉中的蛋白质含量约占84%，（3）地球上陆地面积大约占29%；这些生活中的百分数激活起学生原有的生活经验，从而更易于学生理解百分数的意义。
二、自主探究，明晰含义
《数学课标》中提及数学教学的基本理念是：“学生是数学学习的主人，……学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。数学教学应激发学生的学习兴趣，注重培养学生自主学习的意识和习惯，为学生创设良好的自主学习环境。数学学习需要个体的理解与体验，学生主动参与的程度越高，参与的积极性越大，效果越好…”。课堂中张老师让学生四人一小组，组内交流，自主学习百分数的读法及写法，并写出3个自己认为比较特别的百分数。在这基础上，张老师让学生说说自己收集的百分数的含义，结合老师的三个百分数在组内交流，寻找这些百分数的共同点，实则就是让学生与学生通过交流，让思维碰撞产生火花，自主获取百分数的含义。这样整个课堂完全是学生自己在探索和发现，环环紧扣的问题的提出，疑惑的产生，不断推动着学生进行思索，解决问题，从而学习新知，让百分数的含义逐渐清晰，达到学生主动学习的目标。
三、辨析比较，深入本质
张老师还呈现了自己收集的资料：鸡肉的蛋白质含量为23%，牛肉的蛋白质含量为20%，鸡肉的蛋白质含量为18%与鸽子肉中蛋白质含量84%进行比较，让学生明白生活中用百分数比用分数的优越性，便于比较。借助这个素材，张老师继续拓展，问学生吃一只鸽子是不是比吃一只鸡的蛋白质含量就要高，让学生不断地思维、不断地比较，
引导学生认识百分数的意义及特点，让学生深刻体会百分数表示一种量是另一种量的百分之几，当它是表示部分与总量关系时是不能超出百分之百的。同时沟通分数与百分数的联系与区别，让学生明白百分数只是两个量的比较关系，区别于分数还可以表示具体量，对百分数意义的本质有更深入的理解。此外，张老师还设计了一组丰富的练习，选择合适的百分数进行填空，每小题又不断延伸出一系列的百分数，让学生一次又一次的“上当受骗”，使学生对百分数意义的本质理解刻骨铭心。在课的最后，张老师逐步出示爱因斯坦的名言：天才就是1%的天分加上99%的汗水，但那1%的天分是最重要的,甚至比那99%的汗水都要重要。让学生解读后，张老师自己也作了新的诠释：其实，每个人都拥有那1%的天分，关键是我们要善于发现它，并通过99%的努力，让自己早日成才，以此激励学生，对学生及时进行思想教育，把数学课堂推向更高的境界。
张齐华老师的课堂追求以学为本，以生为本，追求数学本质，追求一个真字。只有在了解学生的真实起点，只有让学生自己提出疑惑，自主探究，真正去思考和解决，才能真正体现智慧课堂的真谛！正如张老师他自己所坚持的：认识、理解儿童，并最大程度地释放儿童的学习力、研究力、创造力，我们的数学课堂，尤其是儿童的数学学习或许将展现出前所未有的勃勃生机与独特魅力。
（浙江 周爱芳）
记千课万人中的几点收获
今天是4月14日，四月的杭州迎来了“千课万人”的数学盛宴，温暖的春风吹拂着每位与会教师们的心，我们犹如枯木逢春，淋漓畅快地沐浴在名家名师的知识海洋中。
最近这段时间我们一线老师听得较多的词就是：数学核心素养。来杭州之前，我们心中一直也有困惑：何为数学核心素养？作为一线老师如何在平时的教学过程中培养学生核心素养？看会议指南，发现今天就有两位重量级专家郑毓信、史宁中教授的针对性讲座，心中万分激动。于是十分认真地听完两位专家的讲座，不禁有种豁然开朗的感觉。
郑毓信教授给我们的启迪最深地两个关键字：安静、慢想。郑教授认为应该坚持数学上普遍的高标准，并应努力做到少而精，关于数学核心素养内涵的见解：他认为应当通过数学教学帮助学生学会思维，并能逐步学会想得更清晰，更深入，更全面，更合理。郑教授说现在的孩子会任性，作为数学教师的我们该如何帮助学生让他们浮躁的内心安静下来呢？郑教授提倡让学生慢慢想，提倡思维的深刻性。反观我们平时的课堂，让学生好好静下心来想的时间确实不多。一节课关注更多的是学生是否会解题，教师自己讲得唾沫横风的时间远远多于学生长时间的思考问题。因此，教师本身应该戒浮戒躁，静下心来好好思考如何提升学生的思维品质。
史宁中教授站在课程的高度讲了《数学核心素养与小学数学教学》。他严谨的治学态度让我们深深折服。他不但从课程的角度提到作为教师的任务需要培养学生终极目标：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界；而且从小学数学教学方面详细地介绍了教与学的本质。当他说到这四个字：悟比讲好，我们当时深有感触，有时老师讲得很多学生未必能消化，而他们自己慢慢想明白的知识点掌握地更牢固。当史教授讲到教材中点、线、面、体先后顺序在生活中应该是体、面、线、点，对称图形教学只关注轮廓，我们顿时有种恍然大悟地感觉。作为一线教师如何关注数学的本质，更好地教给学生正确的数学知识？我们似乎缺少了更多的较真。记得在教学《角的认识》这一课时，看到概念从一点出发引出两条射线组成的图形叫做角似乎深信不移，而今天听到史教授举例说长方形的四个角四条边都是线段难道不是角了吗？当史教授说这个定义说法是错的，我们似乎才明白当初自己教学角的时候是何等纠结。当教学角的大小与边的长短无关时怎么就不能反思：既然边是射线何来长短？作为一线教师，有时候我们更多地是教教材的内容，而缺少感悟教材内容的本质，缺少批判地眼光去处理一些具有争议性的教材。
最后我们也提出自己的疑惑：作为小学一线教师，如何才能让自己站到更高地高度去教学？就如史教授说小学数学计算速度问题，但是我们小学一二年级现在一直把练习口算作为一件头等大事在做。那我们该如何避免教技巧而非教技能？
（浙江 叶丽群 周 婧）
获奖信息
学员课评奖
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浙江省台州市双语学校 叶丽群 周 婧
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以上老师将获得本次观摩会相应光盘
